Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung von $f$ lautet: $f''(x) = \left(\dfrac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Begründen Sie, warum die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat. [2 Punkte]

a) (2)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = \left(-\frac{27}{2}x + 9\right)\cdot \mathrm{e}^{-1,5x}$ die erste Ableitung der Funktion $f$ ist. [2 Punkte]

a) (3)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [4 Punkte]

a) (4)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

a) (5)

Ermitteln Sie, an welchen Stellen des Intervalls $[0; 6]$ der Graph von $f$ jeweils die größte und die kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b (2)

Für jedes $0 < u \le 6$ sind $O(0|0)$, $P(6|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b) (2) (i)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $OPQ_u$ für $u = 2$ ein. [1 Punkt]

b) (2) (ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen lässt. [2 Punkte]

b) (2) (iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist. [2 Punkte]

b) (2) (iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

Teilaufgabe c

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z|f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

$$\begin{aligned} \text{I: } & t(z) = f(z) \\ \text{II: } & t'(z) = f'(z) \\ \text{III: } & \int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4, \text{ wobei } c \text{ die Nullstelle von } t \text{ ist.} \end{aligned}$$

c) (1) (i)

Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. [2 Punkte]

c) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet. [2 Punkte]

c) (2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z|f(z))$ ist. [3 Punkte]

Teilaufgabe d

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4\cdot k^2\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k\cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$. Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4\cdot 2{,}6^2\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-2,6\cdot x}$.

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt $S$.

d) (1) (i)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$. [2 Punkte]

d) (1) (ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

d) (2)

Setzt man einen bestimmten Wert von $k$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 dargestellt ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]