Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet werden die auf R\mathbb{R} definierten ganzrationalen Funktionen fkf_k mit fk(x)=x4+(2−k)⋅x3−k⋅x2mit k∈R.f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.

Pia hat eine Dartscheibe zum Geschenk erhalten. Durchschnittlich trifft sie in etwa 80 % der Würfe die Scheibe. Die Zufallsgröße XX: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit p=0,8p = 0{,}8 gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für XX den Erwartungswert sowie die Standardabweichung. [2 Punkte]

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia genau 80 Treffer erzielt, wobei die ersten zehn Würfe alle treffen. [1 Punkt]

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass sie nahezu 100 % beträgt. [2 Punkte]

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Berechnen Sie für X den Erwartungswert.

Lösung: 80

(1) Berechnen Sie für X die Standardabweichung.

Lösung: 4

(2) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia genau 80 Treffer erzielt, wobei die ersten zehn Würfe alle treffen.

Lösung: 0,810⋅(9070)⋅0,870⋅0,2200{,}8^{10} \cdot \binom{90}{70} \cdot 0{,}8^{70} \cdot 0{,}2^{20}

(3) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt

Lösung: 1−0,21001 - 0{,}2^{100}

(3) und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass sie nahezu 100 % beträgt.

Lösung: 0,21000{,}2^{100} ist eine „sehr kleine“ positive Zahl, die nahezu den Wert 0 hat. Daher gilt: 1−0,2100≈1=100 %1 - 0{,}2^{100} \approx 1 = 100\,\%.

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