Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)},\ x\in \mathbb{R}$. In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ zu sehen.

Für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

$$\begin{aligned}\text{I: } & t(z)=f(z) \\ \text{II: } & t'(z)=f'(z) \\ \text{III: } & \int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4, \text{ wobei } c \text{ die Nullstelle von } t \text{ ist.}\end{aligned}$$

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)},\ x\in \mathbb{R}.$$ Es gilt $g_{1{,}5}=f$. In Abbildung 3 sind die Graphen von $g_{1{,}5}$ sowie $g_a$ (für einen Parameterwert $a > 0$) dargestellt.

a) (2)

Eine Fläche wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse sowie der Geraden mit der Gleichung $x = 7$ begrenzt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

a) (3)

Geben Sie an, welchen Wert $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ annimmt, und welche geometrische Bedeutung dieser Wert hat.

b) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III aussagt:$$\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$$

c) (4)

Für $x \ge 3$ schließen die $x$-Achse und der Graph der Funktion $g_k$ eine nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ ein.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ von $k$ abhängig ist.