Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

Teilaufgabe b) (3)

Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei soll für $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingung $F'(t) = f(t)$ die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig bestimmt ist.

Teilaufgabe c)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Beim Start des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben diesem. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit; dabei ist $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters und $g(t)$ die Geschwindigkeit.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \leq t \leq t_{\max}$.

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,dt$ ungefähr $29{,}3$. Erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0;6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie das Maximum an.

(4)

Es gibt genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$, für den $\int_0^a (g(t) - f(t))\,dt = 0$ gilt. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe d)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters in den ersten sechs Sekunden nach dem Start:

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, fährt er zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters in der Phase konstanter Geschwindigkeit grafisch in Abbildung 2 dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit. 20 Sekunden nach dem Start steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch in Abbildung 2 dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ der Länge $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster noch in dieser Zone zum Stillstand kommt.