Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Haupttermin · CAS

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(1)

Begründen Sie, weshalb der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liegt bei $x = 1$ eine Wendestelle von $f_k$ vor.

Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Für die Funktionenschar $f_k$ gilt die folgende Gleichung:

$$f_k(x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}, \; k \in \mathbb{R}, \; k \neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie auf rechnerischem Weg: $f_k'(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}$.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot \mathrm{e}^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Funktionsgleichungen

$$f(x) = (x-3) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x) = x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Kontrollergebnis: Die Schnittstellen liegen bei $x = 0$ und $x = 3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den beiden Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Die Funktion $D(x) = (4-x) \cdot \mathrm{e}^x + 0{,}5 \cdot x^2 - 3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x) = h(x) - f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ miteinander einschließen.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

d) Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$; dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Der Graph $G_F$ von $F$ ist in der Abbildung dargestellt.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

(2)

Bestimmen Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

e) Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht. [1 Punkt]

(2)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. [4 Punkte]

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

f) Gegeben sind die Punkte $A(-5|5|-3)$ und $B(-1|1|-1)$.

Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$ an. Bestimmen Sie außerdem eine Gleichung der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, welche parallel zur $x_1x_3$-Ebene liegt. [5 Punkte]

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(1)

Begründen Sie, warum der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(2)

Es existiert ein Wert von $k$, für den $f_k$ an der Stelle $x = 1$ eine Wendestelle hat.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $k$.

$k =$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit der Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x},\quad x\in\mathbb{R},\; k\in\mathbb{R},\; k\neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: $f_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}$.

Für die folgenden Aufgabenteile darf die Beziehung $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}$ als gegeben vorausgesetzt werden.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei allen Funktionen der Schar eine Extremstelle darstellt, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum haben.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den beiden Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $h$ und $f$ umschlossen wird.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

d) Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$; dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Der Graph $G_F$ von $F$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

(2)

Bestimmen Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für $f$ an der Stelle $1$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Pia hat eine Dartscheibe zum Geschenk erhalten. Durchschnittlich trifft sie in etwa 80 % der Würfe die Scheibe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung. [2 Punkte]

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia genau 80 Treffer erzielt, wobei die ersten zehn Würfe alle treffen. [1 Punkt]

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass sie nahezu 100 % beträgt. [2 Punkte]

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

In Abbildung 2 ist der Graph der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A$ dargestellt.

(1)

$A$ liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68 % im Intervall $[6; 10]$.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der $A$ einen Wert oberhalb von 10 annimmt. [2 Punkte]

%

(2)

Auch die Zufallsgröße $B$ ist normalverteilt. Der Erwartungswert von $B$ stimmt mit dem Erwartungswert von $A$ überein, während die Standardabweichung von $B$ größer ist als die Standardabweichung von $A$.

Skizzieren Sie in Abbildung 2 einen denkbaren Graphen der Dichtefunktion von $B$. [3 Punkte]

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(1)

Begründen Sie, weshalb der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(2)

Für einen Wert von $k$ besitzt $f_k$ an der Stelle $x = 1$ eine Wendestelle.

Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktionenschar $f_k$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},\ k \in \mathbb{R},\ k \ne 0.$$

(1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: $f_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}$.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie verwenden: $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen lauten $x = 0$ und $x = 3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$. Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist dabei eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $h$ und $f$ liegt und von ihnen begrenzt wird.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

d) Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$, wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. In der Abbildung ist der Graph $G_F$ von $F$ dargestellt.

(1)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

(2)

Bestimmen Sie anhand der Abbildung näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

e)

Es seien die Punkte $A(-5|5|-3)$ und $B(-1|1|-1)$ vorgegeben.

Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AB}$ an und bestimmen Sie eine Gleichung jener Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel liegt.

[5 Punkte]

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

f)

Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten. Im Durchschnitt trifft sie die Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $80\,\%$. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Folgenden als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

[2 + 1 + 2 Punkte]

(1) Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung von $X$.

(2) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia insgesamt genau 80-mal trifft, wobei die ersten zehn Würfe alle Treffer sind.

(3) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung$$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$Es gilt $g_{1{,}5}=f$.

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie $N$ mit seinen Koordinaten an.

N:

Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt $H$ hat.

H:

a) (4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i)

Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ die Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ gilt und er sich damit berechnen lässt.

(ii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ 4 Flächeneinheiten beträgt.

b)

Für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z|f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3,9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (i)

Begründen Sie, warum die Bedingungen I und II gewählt werden.

(1) (ii)

Erläutern Sie, was der Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet.

(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 3,9428$.

(i) Bestimmen Sie für $z = 3,9428$ rechnerisch die Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z|f(z))$ ist.

(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $t$.

Nullstelle $c$ =

c)

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)},\ x \in \mathbb{R}$. Es gilt $g_{1,5} = f$.

(1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch Art und Koordinaten des Extrempunktes des Graphen von $g_k$ abhängig von $k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist $x = 3 + \frac{1}{k}$.]

Art:

Punkt $H_k$:

(3)

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = \frac{4}{\mathrm{e}\cdot(x-3)}$ für $x \in \mathbb{R},\ x \ne 3$.

(i) Weisen Sie nach, dass sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar $g_k$ auf dem Graphen von $h$ liegen.

(ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k > 0$ ist.

Punkt:

(5)

Die Graphen der Funktionen $g_{1,5}$ und $g_{2,6}$ schneiden sich nur im Punkt $N(3|0)$ und in einem weiteren Punkt $S$.

(i) Geben Sie den Hochpunkt des Graphen von $g_{2,6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1,5}$ und $g_{2,6}$.

Hochpunkt von $g_{2,6}$:

Schnittpunkt $S$:

(ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2,6}$ in Abbildung 3.

(6)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie ohne weitere Berechnung anhand des Hochpunktes, ob $a$ größer oder kleiner als 1,5 ist.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung$$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot(x-3)\cdot\mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$Es gilt $g_{1{,}5}=f$.

a) (2)

Die Gerade mit der Gleichung $x=7$, die $x$-Achse und der Graph der Funktion $f$ begrenzen gemeinsam eine Fläche. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt.

FE

a) (3)

Geben Sie den Wert von $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ sowie die geometrische Deutung dieses Wertes an.

c) (4)

Für $x \ge 3$ wird zwischen der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $g_k$ eine nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ eingeschlossen. Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ durch den Parameter $k$ beeinflusst wird.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

a) (1)

Begründen Sie, dass $f(x)=f(-x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 ist.

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

a) (4)

Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens $0{,}85$ betragen.

Zeigen Sie, dass das Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

e) (2)

Der Abschnitt E3 wird zuletzt mit einer Länge von $d = 7{,}5\text{ m}$ errichtet.

Um die Fahrten der Skater auf E3 aufzunehmen, wird eine Kamera in einer Höhe von $5\text{ m}$ oberhalb der unteren Randlinie von E3 angebracht. Vereinfacht wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben, wobei $x_K \approx 8{,}49$.

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ zum Graphen von $g$.

f) (1)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h_u$ verwendet mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

f) (2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades soll die obere Randlinie von Element E3 beschreiben. Ihr Graph stimmt im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ überein (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt dieser oberen Randlinie von E3 befindet sich in einer horizontalen Entfernung von $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$. [5 Punkte]

$g(x) =$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde: $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

d) (1)

Im ersten Entwurf sind für E3 anfangs Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, durch die sich die Länge $d$ des Elements E3 für Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ berechnen lässt. [2 Punkte]

Die Lösung der Gleichung liefert eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: Für E4 entstehen Materialkosten von etwa $3\,500\text{ €}$.]

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

(ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so bestimmen lässt, dass E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ Materialkosten verursachen. [2 Punkte]

[Hinweis: Das Lösen der Gleichung ist nicht erforderlich.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

e) Schließlich wird der Abschnitt E3 mit der Länge $d = 7{,}5$ [m] errichtet.

Um die Fahrten der Skater auf E3 aufzunehmen, soll eine Kamera in einer Höhe von $5\text{ m}$ über der unteren Randlinie von E3 angebracht werden. Vereinfacht wird ihre Lage durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben.

(1)

Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, bei dem $K$ von den Punkten $B$ und $C$ denselben Abstand hat.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ betrachtet.

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

In einer Ebene parallel zur Dachfläche $GEF$ soll oberhalb des Dachs eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Teilaufgabe b

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ mithilfe einer Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die dreieckige Dachfläche $GEF$ einen Punkt der Geraden $g$ enthält.

Teilaufgabe c

Die Gleichung $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

(1)

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ betrachtet.

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

In einer Ebene parallel zur Dachfläche $GEF$ soll oberhalb des Dachs eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Teilaufgabe a

(1)

(2)

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass bei $E$ für jedes $a \ge 0$ ein rechter Winkel im Dreieck $G_aEF$ vorliegt.

(3)

(4)

Setzt man $a = 246$, so ist $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Teilaufgabe b

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ verkürzt.

%

Teilaufgabe c

(2)

°

(3)

Über dem Dach soll eine Solarkollektorfläche in einer Ebene angebracht werden, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt (siehe Abbildung 2).

Ihr Abstand zur Dachfläche $GEF$ beträgt $2{,}5\text{ m}$.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an der Güte des Schraubenkörpers sowie an der Güte der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. 97 % der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben 1,5 % eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben 5 % eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an der Güte des Schraubenkörpers sowie an der Güte der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b)

(1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ dieser Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $200$ davon fehlerfrei sind.

c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben.

„Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit in dieser Produktion der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt.

(2)

Produziert werden $5236$ Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\mathrm{m}$) beschreiben.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig gewählten Schraube im Bereich von $7{,}5$ bis $8{,}5$ liegt.

(2)

Hat eine Normalverteilung die Dichtefunktion $\varphi$, so heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ ihre Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Ja

Nein

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an der Güte des Schraubenkörpers sowie an der Güte der darauf aufgebrachten Beschichtung.

d) „Wind 24" reklamiert bei „Schraubenwind", die gelieferten Schrauben seien deutlich schlechter geworden: Etwa 8 % davon seien defekt. „Schraubenwind" möchte dies überprüfen und entnimmt dazu der laufenden Produktion zufällig 200 Schrauben, die auf ihre Qualität untersucht werden. Da „Wind 24" der bedeutendste Kunde von „Schraubenwind" ist, möchte die Firmenleitung die Wahrscheinlichkeit begrenzen, die Beschwerde von „Wind 24" abzulehnen, obwohl die Fehlerquote der Schrauben tatsächlich 8 % beträgt. Dazu wird ein Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt.

(1)

Bestimmen Sie für diesen Hypothesentest eine Entscheidungsregel.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24" nicht ablehnt, wenn die Fehlerquote der Produktion weiterhin nur 4,5 % beträgt.

%

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Alle Graphen dieser Schar verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Scharfunktionen untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a)

(1) Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie außerdem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2) In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ dargestellt, das zugehörige Koordinatensystem fehlt jedoch. Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

b)

Der Graph von $f_0$ verläuft geradlinig. Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$-Achse an.

e)

(1) Für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$ gelten die folgenden Aussagen:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_a'(0) = f_0'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Schlussfolgerung diese Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar zulassen.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Alle Graphen dieser Schar verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Scharfunktionen untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1|e)$ gehört für einen bestimmten Wert von $a$ zum Graphen von $f_a$. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P$.

e)

(2) Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$. Geben Sie an, wie viele Wendestellen $f_a$ für alle Werte $a \in \mathbb{R}$ besitzt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3) Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar befinden sich auf einer Geraden. Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Alle Graphen dieser Schar verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Scharfunktionen untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:

$$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_0^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x.$$

d)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\int_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.