Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · CAS (2022)

Aufgabenstellung

e) Der Koordinatenursprung OO sowie die Punkte AA, BB und CC bilden das Parallelogramm OABCOABC. Die Abbildung 3 zeigt dieses Parallelogramm OABCOABC samt seinen Diagonalen ee und ff.

(1)

Betrachtet werden die Vektoren u⃗=OA⃗+AB⃗\vec{u} = \vec{OA} + \vec{AB} und v⃗=OA⃗−AB⃗\vec{v} = \vec{OA} - \vec{AB}.

Von diesen beiden Vektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} ist einer der Diagonalen ee zugeordnet, der andere der Diagonalen ff.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren der Diagonalen ff zugeordnet ist.

⃗\vec{ }

Für die weiteren Teilaufgaben gilt: Die Eckpunkte AA und BB besitzen die Koordinaten A(2∣0∣23)A(2 \mid 0 \mid 2\sqrt{3}) und B(4∣−3∣33)B(4 \mid -3 \mid 3\sqrt{3}).

(2)

Zeigen Sie, dass für den Eckpunkt CC gilt: C(2∣−3∣3)C(2 \mid -3 \mid \sqrt{3}).

(3)

Zeigen Sie, dass die Diagonalen ee und ff aufeinander senkrecht stehen.

Aufgabenstellung: Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren der Diagonalen f zugeordnet ist.

Lösung: v⃗\vec{v}

(2) Zeigen Sie, dass für den Eckpunkt C gilt: C(2|-3|sqrt(3)).

Lösung: OC⃗=AB⃗=OB⃗−OA⃗=(4−2−3−033−23)=(2−33)\vec{OC} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ -3-0 \\ 3\sqrt{3}-2\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}

(3) Zeigen Sie, dass die Diagonalen e und f aufeinander senkrecht stehen.

Lösung: u⃗=OB⃗=(4−333),v⃗=CA⃗=OA⃗−AB⃗=(2−20−(−3)23−3)=(033)\vec{u} = \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 3\sqrt{3} \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 0-(-3) \\ 2\sqrt{3}-\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} u⃗⋅v⃗=(4−333)⋅(033)=4⋅0+(−3)⋅3+33⋅3=−9+3⋅3=0  ⟹  u⃗⊥v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 3\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = 4\cdot 0 + (-3)\cdot 3 + 3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = -9 + 3\cdot 3 = 0 \implies \vec{u} \perp \vec{v}

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