Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Häuser des Ortes reichen direkt bis an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte A(523∣0∣0)A(523 \mid 0 \mid 0), B(523∣20∣0)B(523 \mid 20 \mid 0), CC und D(0∣0∣65)D(0 \mid 0 \mid 65) dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten für den Punkt CC an.

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a) (2)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Landebahn eine Länge ∣AD‾∣|\overline{AD}| von ca. 527 m527\text{ m} besitzt.

a) (4)

Berechnen Sie den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

c) (2)

Zeigen Sie, dass v⃗=(650523)\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix} sowohl auf (52365−65)\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix} als auch auf (−523−2065)\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix} senkrecht steht.

c) (3)

Der Vektor v⃗\vec{v} ist orthogonal zur Ebene EE.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Parametergleichung einer passenden Geraden hh.

[Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

Aufgabenstellung: Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Geben Sie die Koordinaten von Punkt C an.

Lösung: C(0∣20∣65)C(0 \mid 20 \mid 65)

a) (2) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Landebahn mit der Länge |AD| etwa 527 m lang ist.

Lösung: ∣AD‾∣=5232+652=277754≈527|\overline{AD}| = \sqrt{523^2 + 65^2} = \sqrt{277754} \approx 527

a) (4) Berechnen Sie den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

Lösung: 7,087{,}08°

a) (4) Berechnen Sie die prozentuale Steigung der Landebahn.

Lösung: 12,4312{,}43%

c) (2) Zeigen Sie, dass v zu den beiden angegebenen Vektoren senkrecht verläuft.

Lösung: (650523)⋅(52365−65)=0\begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix} = 0 und (650523)⋅(−523−2065)=0\begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix} = 0

c) (3) Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade h.

Lösung: h:x⃗=(524,481011,91)+d⋅(−523065),d∈Rh: \vec{x} = \begin{pmatrix} 524{,}48 \\ 10 \\ 11{,}91 \end{pmatrix} + d \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad d \in \mathbb{R}

Zeigen Sie, dass der Vektor v⃗=(650523)\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix} sowohl zu (52365−65)\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix} als auch zu (−523−2065)\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix} senkrecht verläuft.

Lösung: 65*523 + 0*65 + 523*(-65) = 0 und 65*(-523) + 0*(-20) + 523*65 = 0

Der Vektor v⃗\vec{v} ist senkrecht zur Ebene EE. Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade hh.

Lösung: h: x = (0 | 0 | 65) + t * (65 | 0 | 523) / h: x = OA + t * v

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