Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

a)

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt $(1|1)$ enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von $a$ an.