Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

Teilaufgabe a)

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$, bei dem es sich um ein dreiseitiges Prisma handelt.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Es sei $G_a(0|0|a)$ ein Punkt mit $a \ge 0$.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ teilen. Geben Sie ein $a \ge 0$ so an, dass $G_a$ diese Bedingung erfüllt.

(4)

Es sei $a = 246$, dann gilt $G_a = D$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ sowie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

[Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b)

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

(1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt. Dadurch wird vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ entfernt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

Teilaufgabe c)

(3)

Ein weiteres Lufttaxi landet im Punkt $Q(16|38|196)$ auf der Dachfläche, nachdem es eine Strecke von $45\text{ m}$ in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ zurückgelegt hat.

Ermitteln Sie den Startpunkt dieses geradlinigen Flugs.