Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{80}x^5 - \frac{1}{6}x^3 + x$.

Der Punkt $W(2 \mid f(2))$ ist ein Wendepunkt von $G_f$.

a

Geben Sie die Nullstelle von $f$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Terms von $f$. [2 BE]

b

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass auch der Punkt $(-2\mid f(-2))$ ein Wendepunkt von $G_f$ ist. [2 BE]

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{80}x^5 - \frac{1}{6}x^3 + x$.

Der Punkt $W(2 \mid f(2))$ ist ein Wendepunkt von $G_f$.

c

Zeigen Sie, dass $f'(x) = \frac{1}{16} \cdot (x - 2)^2 \cdot (x + 2)^2$ gilt. [3 BE]

Betrachtet werden die Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung und die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.

d

Weisen Sie nach, dass sich die beiden betrachteten Tangenten im Punkt $\left(\frac{16}{15} \mid \frac{16}{15}\right)$ schneiden. Zeichnen Sie die beiden Tangenten in die Abbildung 1 ein. [5 BE]

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{80}x^5 - \frac{1}{6}x^3 + x$.

Der Punkt $W(2 \mid f(2))$ ist ein Wendepunkt von $G_f$.

e

Begründen Sie geometrisch, dass der Wert des Integrals $\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x$ und der Wert des Terms $\frac{1}{2}\cdot \left(2 + \frac{14}{15}\right)\cdot \frac{16}{15}$ annähernd übereinstimmen.

f

In der Teilaufgabe e ist der Wert des Integrals $\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x$ näherungsweise angegeben. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des angegebenen Näherungswerts vom exakten Wert des Integrals.

%

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{80}x^5 - \frac{1}{6}x^3 + x$.

Der Punkt $W(2 \mid f(2))$ ist ein Wendepunkt von $G_f$.

Die Funktion $f$ kann im Intervall $[-2; 2]$ in guter Näherung durch die Funktion $g$ mit $g(x) = a\cdot \sin(bx)$ und $a, b \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden. Dabei gilt:

$2$ ist Extremstelle von $g$;

an der Stelle $2$ stimmen die Funktionswerte von $f$ und $g$ überein.

Ermitteln Sie für $a$ und $b$ jeweils den passenden Wert.

2 Übertöpfe sind Gefäße, in die Pflanztöpfe gestellt werden können. Betrachtet werden rotationssymmetrische Übertöpfe mit einer kreisförmigen Grundfläche und einer Höhe von $40\text{ cm}$.

Die Abbildung 2 zeigt für einen solchen Übertopf die Profillinie eines Längsschnitts entlang der Rotationsachse des Übertopfs. Die Rotationsachse wird durch die y-Achse dargestellt. Die Profillinie des Mantels kann mithilfe der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5 - \frac{10}{x^2}$ beschrieben werden.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

a

Zeigen Sie rechnerisch für den in der Abbildung 2 dargestellten Übertopf, dass die Grundfläche einen Durchmesser von etwa $28\text{ cm}$ hat.

cm

b

Untersuchen Sie, ob ein zylinderförmiger Pflanztopf mit einem Durchmesser von $24\text{ cm}$ und einem Volumen von $16$ Litern in den in der Abbildung 2 dargestellten Übertopf hineinpasst, ohne über den oberen Rand des Übertopfs hinauszuragen.

cm

Ja

Nein

2 Übertöpfe sind Gefäße, in die Pflanztöpfe gestellt werden können. Betrachtet werden rotationssymmetrische Übertöpfe mit einer kreisförmigen Grundfläche und einer Höhe von $40\text{ cm}$.

Die Abbildung 2 zeigt für einen solchen Übertopf die Profillinie eines Längsschnitts entlang der Rotationsachse des Übertopfs. Die Rotationsachse wird durch die y-Achse dargestellt. Die Profillinie des Mantels kann mithilfe der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = 5 - \frac{10}{x^2}$ beschrieben werden.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

c

Für jeden der betrachteten Übertöpfe kann – in einem Längsschnitt entlang der Rotationsachse des Übertopfs – die Profillinie des Mantels mithilfe einer der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = k - \frac{10}{x^2}$ und $k \in \,]4; +\infty[$ beschrieben werden. Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den der Radius des oberen Rands des Übertopfs doppelt so groß ist wie der Radius seiner Grundfläche.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}$. Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

a)

Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen an. Begründen Sie, dass der Graph von $f$ einen Hochpunkt hat, und geben Sie die Koordinaten dieses Hochpunkts an.

d)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0|f(0))$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks und geben Sie die Koordinaten des Punkts an, der von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}$. Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

b)

Geben Sie den Grenzwert von $f$ für $x \to +\infty$ an und beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $f$ für $x \to +\infty$.

c)

Eine der Abbildungen I, II und III zeigt den Graphen von $f$. Geben Sie diese Abbildung an und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

Der Graph einer Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ schrittweise erzeugt werden durch:

Spiegelung an der x-Achse

Streckung mit dem Faktor $\frac{1}{\mathrm{e}}$ in y-Richtung

Verschiebung um $1$ in positive x-Richtung

Zeigen Sie, dass $g(x) = f'(x)$ gilt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}$. Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

f)

Bestimmen Sie unter Verwendung der genannten Schritte, mit denen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann, reelle Zahlen $a$, $b$ und $k$, für die$$\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = k \cdot \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$$gilt.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}$. Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

2 Ein Tauchroboter bewegt sich in vertikaler Richtung. Diese Bewegung lässt sich für $0 \leq t \leq 30$ modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto \frac{9}{40}t^3 - \frac{27}{2}t^2 + \frac{405}{2}t$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $h(t)$ der Abstand des Roboters von der Wasseroberfläche in Metern. Die Abbildung stellt die Bewegung des Roboters dar.

a)

Weisen Sie nach, dass der Roboter zum Zeitpunkt 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn den größten Abstand zur Wasseroberfläche hat und dass dieser Abstand 900 Meter beträgt.

b)

Berechnen Sie, wie viele Meter der Roboter innerhalb der ersten 15 Minuten nach Beobachtungsbeginn zurücklegt.

c)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts des Graphen von $h$ im Hinblick auf die Bewegung des Roboters.

d)

Betrachtet wird die Phase, in der der Roboter seinen Abstand zur Wasseroberfläche vergrößert. Berechnen Sie den Zeitraum innerhalb dieser Phase, in dem die Geschwindigkeit des Roboters größer als 29,7 Meter pro Minute ist.

min