Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für jedes $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ definiert.

Hintergrund (Teil b)

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Hintergrund (Teil c)

Die Gleichung $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

Abbildung 2

Zugelassene Hilfsmittel

GTR (Grafikfähiger Taschenrechner)

Mathematische Formelsammlung

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Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

(2)

Gegeben sei für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Bestimmen Sie $0 \le a \le 246$ so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $G_aEF$ $780\cdot \sqrt{41}\text{ FE}$ beträgt.

(4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

[Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b)

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

Teilaufgabe c)

(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, welche die Wandfläche $BCFE$ enthält.

°

(3)

Über der Dachfläche soll eine Solarkollektorfläche in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene errichtet werden (siehe Abbildung 2). Diese Ebene liegt $2{,}5\text{ m}$ von der Dachfläche $GEF$ entfernt.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0|100|z)$.