Aufgabe B1 - Teilaufgaben b(3), c und d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

Teilaufgabe b(3)

Mit $F(t)$ soll die Länge des Weges modelliert werden, den der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Die Funktion $F$ muss dabei die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllen.

(i)

Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt. [1 Punkt]

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung für $F$ an, mit der $F$ zusammen mit $F'(t) = f(t)$ eindeutig bestimmt ist. [1 Punkt]

Teilaufgabe c

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\ \mathrm{m/s}$. Beim Start des Dragsters ist es genau auf gleicher Höhe mit ihm. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in Abbildung 1 ein und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \leq t \leq t_{\max}$. [3 Punkte]

$($

$\mid$

$)$

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr $29{,}3$. Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet. [2 Punkte]

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang und ohne weitere Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0;6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an. [3 Punkte]

(4)

Für genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$ gilt $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, welche Bedeutung er im Sachzusammenhang hat. [4 Punkte]

Teilaufgabe d

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei und überquert in dieser Zeit die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\ \mathrm{m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase konstanter Geschwindigkeit grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert. [4 Punkte]

s

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20$ Sekunden steht der Dragster still.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$. [4 Punkte]

(3)

Im Anschluss an die Ziellinie liegt eine „Bremszone“ mit einer Länge von $805\ \mathrm{Metern}$. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stillstand kommt. [4 Punkte]