Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

c) (1) Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Lösung: Waagerechte Gerade auf der Höhe $y = -\frac{5}{8} = -0{,}625$ durch die Wendepunkte $W_1\left(-1 \,\middle|\, -\frac{5}{8}\right)$ und $W_2\left(1 \,\middle|\, -\frac{5}{8}\right)$.

c) (2) (i) Ermitteln Sie den Wert des Integrals $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$

Lösung: 0

c) (2) (i) Ermitteln Sie den Wert des Integrals $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$

Lösung: 0{,}4 / 2/5

c) (2) (ii) Wert des Integrals $\int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$

Lösung: 0{,}4 / 2/5

c) (2) (ii) Wert des Integrals $\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,\mathrm{d}x$

Lösung: 0{,}8 / 4/5

c) (2) (ii) Begründen Sie Ihre Angaben (z. B. mithilfe von Abbildung 1).

Lösung: Die Integrale $\int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$ und $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$ entsprechen den Flächeninhalten $A_1$ und $A_3$ der beiden Flächen, die unterhalb des Graphen von $s$ und oberhalb des Graphen von $f$ liegen. Das Integral $\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,\mathrm{d}x$ entspricht dem Flächeninhalt $A_2$ der Fläche, die oberhalb des Graphen von $s$ und unterhalb des Graphen von $f$ liegt. Da $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = 0$ gilt, ist der Flächeninhalt $A_2$ so groß wie die beiden Flächeninhalte $A_1$ und $A_3$ zusammen: $$A_2 = A_1 + A_3 = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8$$

d) (1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $t(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$, den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \,\middle|\, f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangiert.

Lösung: $$f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{135}{128} = t\left(\frac{3}{2}\right)$$ $$f'\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{16}$$ Der Graph von $t$ ist eine Gerade. An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ existiert ein gemeinsamer Punkt dieser Geraden mit dem Graphen von $f$. In diesem Punkt stimmt die Steigung des Graphen von $f$ mit der Steigung der Geraden überein. Somit ist der Graph von $t$ eine Tangente an den Graphen von $f$.

d) (2) Prüfen Sie, ob die Vermutung zutrifft, dass die größere der beiden Teilflächen mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt.

Lösung: Die Schnittstellen von $f$ und $t$ ergeben sich aus $f(x) = t(x)$: $$x = \frac{-(\sqrt{6}+3)}{2} \approx -2{,}72 \quad \lor \quad x = \frac{\sqrt{6}-3}{2} \approx -0{,}28 \quad \lor \quad x = \frac{3}{2}$$ Flächeninhalte der beiden Teilstücke: $$\int_{\frac{-(\sqrt{6}+3)}{2}}^{\frac{\sqrt{6}-3}{2}} (t(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = \frac{93\cdot \sqrt{6}}{80} \approx 2{,}85$$ $$\int_{\frac{\sqrt{6}-3}{2}}^{\frac{3}{2}} (f(x)-t(x))\,\mathrm{d}x = \frac{93\cdot \sqrt{6}}{160} - \frac{351}{320} \approx 0{,}33$$ Verhältnis der Flächen: $$2{,}85 : 0{,}33 \approx 8{,}64 > 8$$ (bzw. mit ungerundeten Werten $\approx 8{,}71$). Die Behauptung der Schülerin trifft somit zu.

f) (1) Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks $MNO$.

Lösung: $6 + \frac{3\cdot\sqrt{145}}{4}$ / 15{,}03

f) (2) Ermitteln Sie den Wert von $a$, bei dem die $x$-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Lösung: 0{,}24