Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

© Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 | 0 | 0)$, $B(523 | 20 | 0)$, $C$ und $D(0 | 0 | 65)$ modelliert; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

(2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn mit der Länge $|\overline{AD}|$ etwa $527\text{ m}$ lang ist.

(4)

Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

%

Teilaufgabe c)

(1)

Damit Landungen sicher verlaufen, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Eine Drohne soll hierfür in einer Ebene $K$ fliegen, die zur Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat.

Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt, der in der Ebene $K$ liegt.

(2)

Während das Flugzeug ausrollt, verläuft die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix},\quad s \in \mathbb{R}.$$

Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze im Punkt $Q(300|28|31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit der Punkt $Q$ von der Geraden $h$ entfernt ist.