Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(2) Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Wüstenleben deutlich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum.

c)

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\ ^\circ\mathrm{C}$ noch unter $34\ ^\circ\mathrm{C}$.

(i) Begründen Sie, ohne erneut zu rechnen, dass die Funktion $f_a$ die gleichen Extremstellen besitzt wie die Funktion $k$, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii) Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ die Funktionswerte $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder über $42$ noch unter $34$ liegen.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.