Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; beim Landen rollen die Flugzeuge dabei auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

1 © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

a) (2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn $|\overline{AD}|$ eine Länge von etwa $527\text{ m}$ hat.

a) (4)

Berechnen Sie den Steigungswinkel der Landebahn zur Horizontalen und die Steigung der Landebahn in Prozent.

Teilaufgabe c)

Damit Landungen sicher möglich sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne längs einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R},$$

verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat. [Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

c) (2)

Zeigen Sie, dass der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ sowohl zu $\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix}$ als auch zu $\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix}$ senkrecht ist.

c) (3)

Der Vektor $\vec{v}$ ist senkrecht zur Ebene $E$. Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung einer passenden Geraden $h$.