Aufgabe WTR 1 (e-g) · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Thema: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Aus der Prüfung GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. 5 %5\,\% der Pakete haben eine Masse von mehr als 10 kg10\text{ kg} und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind 8 %8\,\% schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

SS: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

ZZ: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

e

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

SS

S‾\overline{S}

Summe

ZZ

Z‾\overline{Z}

Summe

f

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind.

Ja

Nein

g

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind 2 %2\,\% schwer. Entscheiden Sie, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als 5 %5\,\%, gleich 5 %5\,\% oder größer als 5 %5\,\% ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen.

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 1 (e-g) · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Stochastik (WTR) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Vierfeldertafel: P(Z ∩ S)

Lösung: 0,8 % / 0,008

Vierfeldertafel: P(Z ∩ S̅)

Lösung: 9,2 % / 0,092

Vierfeldertafel: P(Z)

Lösung: 10 % / 0,1

Vierfeldertafel: P(Z̅ ∩ S)

Lösung: 4,2 % / 0,042

Vierfeldertafel: P(Z̅ ∩ S̅)

Lösung: 85,8 % / 0,858

Vierfeldertafel: P(Z̅)

Lösung: 90 % / 0,9

Vierfeldertafel: P(S)

Lösung: 5 % / 0,05

Vierfeldertafel: P(S̅)

Lösung: 95 % / 0,95

Vierfeldertafel: Gesamtsumme

Lösung: 100 % / 1

f Sind die beiden Anteile ebenso groß?

Lösung: Nein

f Untersuchung/Begründung

Lösung: Der Anteil der schweren Pakete ist unter denjenigen mit dem Ziel A anders als unter allen Paketen. Damit sind die Ereignisse S und Z stochastisch abhängig. Die beiden betrachteten Anteile stimmen also nicht überein.

g Entscheidung über den Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben

Lösung: kleiner als 5 %

g Begründung der Entscheidung

Lösung: Unter allen Paketen ist der Anteil derer mit dem Ziel A größer als der Anteil derer mit dem Ziel B. Damit ist der Anteil der schweren Pakete unter denen mit den Zielen A und B insgesamt größer als 5 %. Der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, ist also kleiner als 5 %.

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