Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass

$$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R},\, t \in \mathbb{R},$$

eine Parametergleichung derjenigen Ebene darstellt, welche die Dachfläche $GEF$ enthält.

c) (2)

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ werden beschrieben durch

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\, t \ge 0,\, s + t \le 1.$$

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass auf der Geraden $g$ ein Punkt liegt, der zur dreieckigen Dachfläche $GEF$ gehört.

$s =$

$t =$

$k =$

c) (3)

Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q(16 \mid 38 \mid 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\text{ m}$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ geflogen ist.

Ermitteln Sie den Punkt, an dem diese geradlinige Flugstrecke begonnen hat.

$P($

$\mid$

$\mid$

$)$