Aufgabe B1 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

a) Nach zwei Sekunden hat ein Dragster schon eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$ erreicht.

(1)

Bestimmen Sie den hierzu passenden Wert für $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster ist $k = 0{,}2$.

Während der ersten vier Sekunden erreicht keiner der beiden Dragster seine Höchstgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum ist stets eines der beiden Fahrzeuge schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster in diesen vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.