Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung der Funktion $f$ lautet: $f''(x) = \left(\frac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat.

a) (2)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = \left(-\frac{27}{2}x + 9\right)\cdot e^{-1{,}5x}$ die erste Ableitung von $f$ darstellt.

a) (3)

Untersuchen Sie mithilfe von Rechnung den Graphen von $f$ auf lokale Extrempunkte.

a) (4)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten.

a) (5)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 6]$, an denen der Graph von $f$ jeweils die größte bzw. die kleinste Steigung aufweist.

Teilaufgabe b) (2)

Für jedes $0 < u \leq 6$ sind $O(0 \mid 0)$, $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b) (2) (i)

Zeichnen Sie für $u = 2$ das Dreieck $OPQ_u$ in Abbildung 1 ein.

b) (2) (ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen lässt.

b) (2) (iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist.

b) (2) (iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen das Dreieck $OPQ_u$ den Flächeninhalt $4$ Flächeneinheiten besitzt.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ der Punkt $R(z \mid f(z))$. Die Funktion $t$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f$ in $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \geq z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ umschließen zusammen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

c) (1) (i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt werden.

c) (2)

Aus den Bedingungen ergibt sich $z \approx 0{,}9428$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist.

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4\cdot k^2\cdot x\cdot e^{-k\cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$.

Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4\cdot 2{,}6^2\cdot x\cdot e^{-2{,}6\cdot x}$.

d) (1) (i)

Die Graphen von $f$ und $g$ haben nur den Koordinatenursprung und einen weiteren Punkt $S$ gemeinsam.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$.

d) (1) (ii)

Skizzieren Sie den Graphen von $g$ unter Verwendung dieser Punkte in Abbildung 3.

d) (2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Term von $j$ den Term der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 zu sehen ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an.