Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x - 3)}$, $x \in \mathbb{R}$, festgelegt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche den Inhalt $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x - 3)}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie an, welche Koordinaten $N$ hat.

Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt $H$ hat.

a) (4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i) Begründen Sie, dass sich der Inhalt der Dreiecksfläche $NPQ_u$ abhängig von $u$ mithilfe der Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen lässt.

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii) Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen das Dreieck $NPQ_u$ 4 Flächeneinheiten groß ist.

b) (1) (i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt wurden.

b) (2)

Die Bedingungen liefern $z \approx 3{,}9428$.

(i) Es gilt: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot (27\cdot x - 99) \cdot e^{-1{,}5(x-3)}$.

Bestimmen Sie für $z = 3{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z|f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $t$.

c) (1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

c) (2)

Ohne Beweis darf benutzt werden: $g_k''\left(3+\frac{1}{k}\right) = -4 \cdot k^3 \cdot e^{-1}$.

Bestimmen Sie rechnerisch, abhängig von $k$, die Extremstelle des Graphen von $g_k$ und die Art des zugehörigen Extremums.

[Zur Kontrolle: Die Extremstelle lautet $x = 3 + \frac{1}{k}$.]

c) (4)

Die Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ haben außer $N(3|0)$ nur noch einen weiteren gemeinsamen Punkt $S$.

(i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$.

(ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3.

c) (5)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie mithilfe des Hochpunktes $H_a$ und ohne zusätzliche Rechnung, ob $a$ größer oder kleiner als 1,5 ist.