Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie für die erste Ableitung von $g$ eine Funktionsgleichung an.

$g'(x) =$

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie die jeweilige Art des Extremums.

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Die Abbildung stellt die Graphen von $f$ und $g$ dar.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt und von ihnen begrenzt wird.

c) Die Funktion $f$ ist auf $\mathbb{R}$ durch $f(x)=x^2$ definiert.

Bestimmen Sie die reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade $y=m\cdot x$ zusammen eine Fläche vom Inhalt 36 begrenzen.

d) Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und die Ebene

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}.$$

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. [5 Punkte]

e) Betrachtet werden die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$, wobei $z$ für eine positive reelle Zahl steht.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, wobei $\overline{AB}$ die Basis bildet. [2 Punkte]

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$.

Bestimmen Sie, welchen Wert $z$ annimmt. [3 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung der Funktion $f$ lautet: $f''(x) = \left(\frac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat.

a) (2)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = \left(-\frac{27}{2}x + 9\right)\cdot e^{-1{,}5x}$ die erste Ableitung von $f$ darstellt.

a) (3)

Untersuchen Sie mithilfe von Rechnung den Graphen von $f$ auf lokale Extrempunkte.

a) (4)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten.

a) (5)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 6]$, an denen der Graph von $f$ jeweils die größte bzw. die kleinste Steigung aufweist.

Teilaufgabe b) (2)

Für jedes $0 < u \leq 6$ sind $O(0 \mid 0)$, $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b) (2) (i)

Zeichnen Sie für $u = 2$ das Dreieck $OPQ_u$ in Abbildung 1 ein.

b) (2) (ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen lässt.

b) (2) (iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist.

b) (2) (iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen das Dreieck $OPQ_u$ den Flächeninhalt $4$ Flächeneinheiten besitzt.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ der Punkt $R(z \mid f(z))$. Die Funktion $t$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f$ in $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \geq z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ umschließen zusammen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

c) (1) (i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt werden.

c) (2)

Aus den Bedingungen ergibt sich $z \approx 0{,}9428$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist.

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4\cdot k^2\cdot x\cdot e^{-k\cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$.

Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4\cdot 2{,}6^2\cdot x\cdot e^{-2{,}6\cdot x}$.

d) (1) (i)

Die Graphen von $f$ und $g$ haben nur den Koordinatenursprung und einen weiteren Punkt $S$ gemeinsam.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$.

d) (1) (ii)

Skizzieren Sie den Graphen von $g$ unter Verwendung dieser Punkte in Abbildung 3.

d) (2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Term von $j$ den Term der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 zu sehen ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung der Funktion $f$ lautet: $f''(x) = \left(\frac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

b)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1) Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

c)

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$ dar.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ begrenzen zusammen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\displaystyle\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii) Erläutern Sie, was der Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III beschreibt.

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden errichtet. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ modelliert ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ aneinander anschließen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt das nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum für sämtliche $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x)=f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

[2 Punkte]

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn innerhalb von E2 ist.

[5 Punkte]

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

[2 Punkte]

a) (4)

Aus Gründen der Sicherheit darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn nicht größer als 0,85 sein.

Zeigen Sie, dass das Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

[4 Punkte]

Teilaufgabe e)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt wie E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Modelliert wird er hier durch eine Funktion $h$ mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

e) (1)

Begründen Sie, dass $h'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

[3 Punkte]

e) (2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.

[2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden errichtet. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ modelliert ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ aneinander anschließen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt das nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Die Oberkante des Elements E3 wird mithilfe einer ganzrationalen Funktion $g$ zweiten Grades beschrieben. Ihr Graph soll im Punkt $B$ denselben Funktionswert und dieselbe Steigung haben wie der Graph von $f$ (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der Oberkante von E3 liegt dabei in einer horizontalen Entfernung von $3{,}6\text{ m}$ zum Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$.

[5 Punkte]

$a =$

$b =$

$c =$

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden errichtet. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ modelliert ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ aneinander anschließen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt das nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Dieser verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, wie hoch die Materialkosten für Element E2 sind.

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8,4)^2 + \frac{132}{125}.$$

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten in Höhe von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ von E3 so bestimmen lässt, dass Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ entstehen.

Die Lösung der Gleichung liefert eine Länge von $d \approx 8,24\text{ m}$.

(ii)

Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt.

(iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 eine feste Länge von $1,5\text{ m}$ hat.

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe übersteigen.

(ii)

Daher wird in einem neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1,5\text{ m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ ergeben.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

Teilaufgabe a)

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$, bei dem es sich um ein dreiseitiges Prisma handelt.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Es sei $G_a(0|0|a)$ ein Punkt mit $a \ge 0$.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ teilen. Geben Sie ein $a \ge 0$ so an, dass $G_a$ diese Bedingung erfüllt.

(4)

Es sei $a = 246$, dann gilt $G_a = D$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ sowie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

[Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b)

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

(1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt. Dadurch wird vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ entfernt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

Teilaufgabe c)

(3)

Ein weiteres Lufttaxi landet im Punkt $Q(16|38|196)$ auf der Dachfläche, nachdem es eine Strecke von $45\text{ m}$ in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ zurückgelegt hat.

Ermitteln Sie den Startpunkt dieses geradlinigen Flugs.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R},$$ eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $GEF$ liegt.

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ lassen sich darstellen als

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\ t \ge 0,\ s + t \le 1.$$

c) (2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Der Schlussabschnitt des Flugs wird vereinfacht durch einen Teil der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$ beschrieben.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass auf der Geraden $g$ mindestens ein Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ liegt.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an einem einwandfreien Schraubenkörper und an einer einwandfreien anschließend aufgebrachten Beschichtung. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide keinen Fehler aufweisen.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. 97 % der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben 1,5 % eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben 5 % eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$: Eine zufällig entnommene Schraube ist fehlerfrei.

$E_2$: Eine zufällig entnommene Schraube hat eine fehlerhafte Beschichtung.

(3)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an einem einwandfreien Schraubenkörper und an einer einwandfreien anschließend aufgebrachten Beschichtung. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide keinen Fehler aufweisen.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass durchschnittlich 4,5 % der Schrauben mit einem Fehler aus der Produktion kommen. Im Folgenden wird modellhaft angenommen, dass die Anzahl fehlerhafter Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

Teilaufgabe b)

(1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion 500 Schrauben zufällig entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 20 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens 200 davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % fehlerfrei sind.

Teilaufgabe c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, für die der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion mindestens 5000 beträgt.

(2)

In der Produktion entstehen 5236 Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Eine Schraube von hoher Qualität erkennt man an einem einwandfreien Schraubenkörper und an einer einwandfreien anschließend aufgebrachten Beschichtung. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide keinen Fehler aufweisen.

d) „Wind 24“ reklamiert bei „Schraubenwind“ eine deutlich schlechtere Qualität der Lieferungen: Etwa $8\,\%$ der gelieferten Schrauben seien defekt. Weil „Wind 24“ der bedeutendste Kunde von „Schraubenwind“ ist, entnimmt man der laufenden Produktion zufällig $200$ Schrauben und prüft deren Qualität. Die Firmenleitung möchte die Reklamation von „Wind 24“ abweisen, wenn höchstens neun der $200$ geprüften Schrauben defekt sind.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ abweist, wenn die Fehlerquote im Produktionsprozess $8\,\%$ beträgt.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ nicht abweist, wenn die Fehlerquote im Produktionsprozess weiterhin nur $4{,}5\,\%$ beträgt.

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes lässt sich im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte die Firma auch eine Smartwatch am Markt ein. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ modelliert.

a)

(1) Zeigen Sie, dass gilt: $f'(x) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate des Absatzes maximal ist, und geben Sie diesen maximalen Wert an.

(3) Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Bereich $0 \leq x \leq 18$.

(4) Zwischen der Produkteinführung und dem Ende des 18. Monats danach gibt es einen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ansteigt, und einen, an dem sie am stärksten fällt. Um diese beiden Zeitpunkte zu ermitteln, wurde Folgendes berechnet:

$$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$$

$$f'''(5) > 0$$

Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe ohne zusätzliche Rechnung.

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes lässt sich im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte die Firma auch eine Smartwatch am Markt ein. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ modelliert.

Zum selben Zeitpunkt, zu dem das Fitnessarmband eingeführt wurde, startete das Unternehmen auch den Verkauf einer Smartwatch. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Produkteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Produkteinführung insgesamt verkauft wurden.

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem seit der Produkteinführung ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.

Geben Sie diesen Zeitpunkt gegebenenfalls an.