Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Piste misst nur etwa $527\text{ m}$ in der Länge und etwa $20\text{ m}$ in der Breite und ist geneigt. Landungen erfolgen ausschließlich bergauf, Starts ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt bis an die Piste heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

(2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat.

(4)

Berechnen Sie sowohl den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, als auch ihre Steigung in Prozent.

°

%

c)

Damit Landungen sicher möglich sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden $$m:\vec{x}=\begin{pmatrix}523\\10\\0\end{pmatrix}+n\cdot\begin{pmatrix}-523\\0\\65\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{R}$$ verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat.

[Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

(2)

Zeigen Sie, dass der Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}65\\0\\523\end{pmatrix}$ sowohl zu $\begin{pmatrix}523\\65\\-65\end{pmatrix}$ als auch zu $\begin{pmatrix}-523\\-20\\65\end{pmatrix}$ senkrecht ist.

Der Vektor $\vec{v}$ ist senkrecht zur Ebene $E$.

(3)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade $h$.