Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Haupttermin · CAS

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

a) Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $g$ an.

$g'(x)=$

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie die jeweilige Art des Extremums.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot\mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Abbildung sind die Graphen von $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die x-Werte der beiden Punkte an, in denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot\mathrm{e}^x+0{,}5\cdot x^2-3\cdot x$ eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot\mathrm{e}^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ miteinander einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

c) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

d) Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}$.

Berechnen Sie, welche Koordinaten der Punkt $D$ hat, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet.

$D($

$|$

$|$

$)$

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}$$

e) Betrachtet werden die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$; dabei ist $z$ eine positive reelle Zahl.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und $\overline{AB}$ als Basis besitzt.

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$. Bestimmen Sie $z$.

$z =$

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

a) Eine Funktion $g$ ist gegeben durch die Gleichung

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie für die erste Ableitung von $g$ eine Funktionsgleichung an.

$g'(x) =$

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie deren Art.

$x_1 =$

Art:

$x_2 =$

Art:

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen der Funktionen $f$ und $g$.

(1)

Geben Sie die zwei Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

$x_1 =$

und $x_2 =$

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt und von ihnen begrenzt wird.

(exakter Wert oder Dezimalzahl gerundet)

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) Die Funktion $f$ sei in $\mathbb{R}$ durch $f(x)=x^2$ definiert.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

$m =$

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten. Durchschnittlich trifft sie in etwa $80\,\%$ der Würfe die Scheibe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Weiteren als binomialverteilt mit $p=0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt $100$-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau $80$-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

e) In Abbildung 2 ist ein noch unvollständiges Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ dargestellt, deren Parameter $n = 4$ und $p = 0{,}5$ lauten.

Dabei ist $P_{4;0{,}5}(X = 0) = 0{,}0625$.

Geben Sie mit Begründung $P_{4;0{,}5}(X = 3)$ und $P_{4;0{,}5}(X = 4)$ an.

Zeichnen Sie die noch fehlenden Säulen in Abbildung 2 ein.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

a) Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie für die erste Ableitung von $g$ eine Funktionsgleichung an.

(2)

Berechnen Sie, an welchen Stellen $g$ Extrema besitzt, und bestimmen Sie deren Art.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Abbildung sind die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Zeigen Sie: $D(x)=(4-x)\cdot \mathrm{e}^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot \mathrm{e}^x$.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt und von ihnen begrenzt wird.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

c) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

$m =$

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

d) Betrachtet werden die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$ mit einer positiven reellen Zahl $z$.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und $\overline{AB}$ die Basis bildet.

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$.

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

e) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für genau 80 Treffer von Pia auf der Dartscheibe berechnen lässt.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer auf der Dartscheibe berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass die Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nur eine Nullstelle besitzt. [2 Punkte]

(2)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [5 Punkte]

$x =$

$y =$

(3)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

$x =$

$y =$

(4)

Ermitteln Sie, an welchen Stellen des Intervalls $[0; 6]$ der Graph von $f$ jeweils die größte und die kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b) (2)

Zu jedem $0 < u \le 6$ bilden die Punkte $O(0 \mid 0)$, $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ ein Dreieck.

(i)

Zeichnen Sie für $u = 2$ das Dreieck $OPQ_u$ in Abbildung 1 ein. [1 Punkt]

(ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen lässt. [2 Punkte]

(iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ das Dreieck $OPQ_u$ den größten Flächeninhalt hat. [2 Punkte]

(iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

$u_1 \approx$

$u_2 \approx$

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ sei die Funktion $j$ mit $j(x) = 4 \cdot k^2 \cdot x \cdot e^{-k \cdot x}$ und $x \in \mathbb{R}$ definiert.

Für $k = 1{,}5$ ergibt sich aus dem Term von $j$ der Funktionsterm von $f$.

Für $k = 2{,}6$ ergibt sich aus dem Term von $j$ der Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4 \cdot 2{,}6^2 \cdot x \cdot e^{-2{,}6 \cdot x}$.

(1) (i)

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ haben außer dem Koordinatenursprung nur noch einen weiteren gemeinsamen Punkt $S$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$. [2 Punkte]

$x \approx$

$y \approx$

$x =$

$y =$

(1) (ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Term von $j$ den Funktionsterm der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 zu sehen ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Teilaufgabe b

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

Teilaufgabe c

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

\(\text{I: } t(z) = f(z)\)

\(\text{II: } t'(z) = f'(z)\)

\(\text{III: } \int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{z}^{c} t(x)\,\mathrm{d}x = 4\), wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1)

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt werden.

(ii)

Erläutern Sie den Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III.

(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

(i)

Bestimmen Sie rechnerisch für $z = 0{,}9428$ eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z \mid f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

a)

(1) Begründen Sie, warum für alle $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

(2) Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß im Bereich von E2 der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn ist.

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4) Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

d)

E3 wird durch die Gleichung $g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$ modelliert.

Ruckfrei heißt ein Übergang, wenn an der Übergangsstelle nicht nur die Funktionswerte und die ersten Ableitungen, sondern auch die zweiten Ableitungen gleich sind.

Prüfen Sie, ob der Übergang von E2 zu E3 ruckfrei ist.

f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h$ verwendet mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R},\text{ mit } u > 0.$$

(1) Begründen Sie die Gleichung $h'(x) = u \cdot f'(x)$ und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

(2) Ermitteln Sie denjenigen Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die obere Randlinie von Element E3 wird eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell verwendet. Ihr Graph stimmt im Punkt $B$ in Funktionswert und Steigung mit dem Graphen von $f$ überein (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt dieser Randlinie von E3 befindet sich in einer horizontalen Entfernung von $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$. [5 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders tragfähiger Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\ \text{€}$ pro $\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\ \text{m}$ breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

€

Teilaufgabe e)

E3 wird weiterhin mit der folgenden Funktion modelliert: $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

e) (1) (i)

Im ersten Entwurf sind für E3 anfangs Materialkosten von $10\,800\ \text{€}$ vorgesehen.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 so bestimmen lässt, dass die Materialkosten $10\,800\ \text{€}$ betragen. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\ \text{m}$.

e) (1) (ii)

Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt. [1 Punkt]

m

e) (1) (iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest $1{,}5\ \text{m}$ lang ist. [1 Punkt]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 betragen ungefähr $3\,500\ \text{€}$.]

€

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\ \text{€}$ betragen dürfen.

e) (2) (i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

e) (2) (ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1{,}5\ \text{m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass E3 und E4 zusammen genau $12\,000\ \text{€}$ Materialkosten verursachen. [2 Punkte]

[Hinweis: Die Gleichung soll nicht gelöst werden.]

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) Der in der Abbildung gezeigte Körper $ABCDEF$ stellt ein dreiseitiges Prisma dar.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Zu jedem $a \ge 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ aufteilen.

Geben Sie einen Wert $a \ge 0$ an, für den diese Bedingung an $G_a$ erfüllt ist.

(4)

Es sei $a = 246$, sodass $G_a = D$ gilt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ sowie das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ verkürzt. Dadurch wird vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ abgetrennt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

°

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass

$$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R},\, t \in \mathbb{R},$$

eine Parametergleichung derjenigen Ebene darstellt, welche die Dachfläche $GEF$ enthält.

c) (2)

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ werden beschrieben durch

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\, t \ge 0,\, s + t \le 1.$$

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass auf der Geraden $g$ ein Punkt liegt, der zur dreieckigen Dachfläche $GEF$ gehört.

$s =$

$t =$

$k =$

c) (3)

Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q(16 \mid 38 \mid 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\text{ m}$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ geflogen ist.

Ermitteln Sie den Punkt, an dem diese geradlinige Flugstrecke begonnen hat.

$P($

$\mid$

$\mid$

$)$

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im Weiteren wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

a) Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97\,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1{,}5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$P(E_1) =$

$P(E_2) =$

(3)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Wahrscheinlichkeit:

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im Weiteren wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt 4,5 % der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b) (1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion zufällig 500 Schrauben entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 20 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens 200 davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % fehlerfrei sind.

c) „Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

c) (1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, bei der der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion mindestens 5000 beträgt.

c) (2)

Produziert werden 5236 Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im Weiteren wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

d) „Wind 24“ reklamiert bei „Schraubenwind“ eine deutlich schlechtere Qualität der Lieferungen: Etwa 8 % der gelieferten Schrauben seien defekt. Weil „Wind 24“ der bedeutendste Abnehmer von „Schraubenwind“ ist, werden der laufenden Produktion zufällig 200 Schrauben entnommen und geprüft. Die Firmenleitung möchte die Reklamation von „Wind 24“ ablehnen, wenn höchstens neun der 200 geprüften Schrauben defekt sind.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ ablehnt, wenn die Fehlerquote im Produktionsprozess 8 % beträgt.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ nicht ablehnt, wenn die Fehlerquote im Produktionsprozess weiterhin nur 4,5 % beträgt.

Aufgabenstellung

Eine Firma bringt Fitnessarmbänder auf den Markt. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Produkteinfÿhrung verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

a)

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch, wann die momentane Änderungsrate des Absatzes ihr Maximum annimmt, und geben Sie die Höhe dieses Maximums an.

(2)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f$ im Bereich $0 \leq x \leq 18$.

Zeichnen Sie in Ihrer Abbildung alle Punkte des Graphen ein, bei denen die momentane Änderungsrate des Absatzes $1000$ Stück pro Monat beträgt.

(3)

Zwischen der Produkteinführung und dem Ende des $18$. Monats danach gibt es einen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten wächst, sowie einen, an dem sie am stärksten fällt. Um diese beiden Zeitpunkte zu ermitteln, wurde Folgendes berechnet:

$$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$$

$$f'''(5) > 0$$

Erläutern Sie das Vorgehen bei diesen Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne weiter zu rechnen.

Aufgabenstellung

Eine Firma bringt Fitnessarmbänder auf den Markt. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Produkteinfÿhrung verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat lässt sich im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie für das Fitnessarmband und die Smartwatch die momentanen Änderungsraten des Absatzes fünf Monate nach der Markteinführung.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Produkteinführung insgesamt verkauft wurden.

Stück

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob ein Zeitpunkt existiert, zu dem seit der Produkteinführung gleich viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden. Geben Sie diesen Zeitpunkt gegebenenfalls an.