Aufgabe 1 c–e · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Thema: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Aus der Prüfung LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2022)

Aufgabenstellung

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. 98 %98\,\% der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“.

Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %90\,\% aussortiert. Allerdings werden auch 5 %5\,\% der runden Bälle aussortiert.

c

Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

d

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 0,98⋅0,05⋅20000{,}98 \cdot 0{,}05 \cdot 2000 im Sachzusammenhang.

e

Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen. Ermitteln Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert wären.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 c–e · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

Lösung: Bezeichnungen: RR: „Ein Ball ist rund.“ AA: „Ein Ball wird aussortiert.“ Wahrscheinlichkeiten: - Erste Stufe: - P(R)=98 %=0,98P(R) = 98\,\% = 0{,}98 - P(Rˉ)=2 %=0,02P(\bar{R}) = 2\,\% = 0{,}02 - Zweite Stufe: - Nach RR: P(A∣R)=5 %=0,05P(A|R) = 5\,\% = 0{,}05 und P(Aˉ∣R)=95 %=0,95P(\bar{A}|R) = 95\,\% = 0{,}95 - Nach Rˉ\bar{R}: P(A∣Rˉ)=90 %=0,90P(A|\bar{R}) = 90\,\% = 0{,}90 und P(Aˉ∣Rˉ)=10 %=0,10P(\bar{A}|\bar{R}) = 10\,\% = 0{,}10

d Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 0,98 · 0,05 · 2000 im Sachzusammenhang.

Lösung: Der Term gibt für 2000 hergestellte Bälle den Erwartungswert für die Anzahl der aussortierten runden Bälle an.

e Ermitteln Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert wären.

Lösung: 0,02⋅0,120,98⋅0,952+0,02⋅0,12≈0,023 %\frac{0{,}02\cdot 0{,}1^2}{0{,}98\cdot 0{,}95^2 + 0{,}02\cdot 0{,}1^2} \approx 0{,}023\,\%

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