Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R},$$ eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $GEF$ liegt.

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ lassen sich darstellen als

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\ t \ge 0,\ s + t \le 1.$$

c) (2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Der Schlussabschnitt des Flugs wird vereinfacht durch einen Teil der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$ beschrieben.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass auf der Geraden $g$ mindestens ein Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ liegt.