Aufgaben zu Integralrechnung: Flächen und Bestände

419 Aufgaben zu Integralrechnung: Flächen und Bestände aus dem Abitur NRW Mathematik (2017-2026). Mit ausführlicher Lösung und automatischer Korrektur.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · GK · Teil A · Analysis 2026

Gegeben ist f(x) = x³ + x² - 2x. a) Berechnen Sie das Integral von -1 bis 0 über f(x) dx. b) Beurteilen Sie, ob der Wert des Terms von -2 bis 0 f(x) dx + von 0 bis 1 f(x) dx dem Inhalt der von Graph und x-Achse eingeschlossenen Fläche entspricht.

Aufgabe 2 (MMS 1) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Teilaufgabe 2c: Bestimmen einer Gleichung der zu G_h parallelen Geraden g, die die von G_f und den Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche halbiert.

Aufgabe (MMS 2) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Teilaufgaben f und g: Interpretation von Rechenschritten zur Wasservolumenbestimmung bei -1 LE und Berechnung der Masse eines zweiten halbkreisförmigen Dachrinnenstücks mit gleichem Fassungsvermögen.

Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Teilaufgaben 1d und 1e zu f(x) = 1/4 x^3 + 1/4: Bestimmen der Stammfunktion F mit F(4) = 16 sowie geometrische Begründung des Integrals von -k bis k ohne Verwendung von Stammfunktionen über Punktsymmetrie von x |-> 1/4 x^3 und Rechtecksfläche.

Aufgabe WTR 2 - 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Teilaufgabe 1d: Nachweis des Flächeninhalts $A = \int_u^0 (f(x)-1)\,dx = 3-3e^u$. Teilaufgabe 1e: Bestimmung von $a$ für die Halbierung der Fläche mit $u=-\ln 5$, also $a = \ln(3/5)$.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Analysis 2026

Gegeben ist der Graph der Funktion g(x) = -2x + 4. In Teilaufgabe a soll für die Lösung der Gleichung ∫_0^k g(x) dx = 0 die geometrische Bedeutung in der Abbildung veranschaulicht werden. In Teilaufgabe b sollen alle Stammfunktionen von g bestimmt werden, die ausschließlich negative Funktionswerte besitzen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 4 · LK · Teil A · Analysis 2026

Gegeben sind f(x) = 4·e^(1/2·x+1) und g(x) = x^2·e^(1/2·x+1). a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f und g nur für x = -2 und x = 2 schneiden. b) Mit der Stammfunktion G(x) = (2x^2 - 8x + 16)·e^(1/2·x+1) von g den Inhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche berechnen.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Teilaufgaben b, g und h: Eingeschlossene Fläche der Schar fa berechnen sowie Flächen und Integralfunktion des Strandbadmodells im Sachzusammenhang deuten.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Teilaufgabe 1d: Die Bedeutung der Stammfunktion w(t) der Wachstumsrate sowie des Grenzwertes 27 im Sachzusammenhang angeben.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Zeigen Sie, dass die prozentuale Abweichung des Inhalts der Dreiecksfläche vom Inhalt der im vierten Quadranten eingeschlossenen Fläche unabhängig von a ist, und geben Sie diese prozentuale Abweichung an.

Aufgabe 2 (WTR 1) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Berechnen Sie das Integral von 5 bis 9 über h(x) dx und interpretieren Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

Aufgabe 2 (WTR 2) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Teilaufgabe 2b: Berechnen des Flächeninhalts der grau markierten Fläche der Vorderansicht (Gesamtfläche unter f abzüglich der 447 m² Einfahrten).

Aufgabe 1 (WTR 3) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2026

Berechnung eines Integrals mit gegebener Stammfunktion, geometrische Begründung einer Integralgleichung (Flächenbilanz) und Rückwärtsinterpretation eines Lösungswegs zur Volumenberechnung eines Rotationskörpers.

Aufgabengruppe 1 - Analysis 1 · GK · Teil A · Analysis 2025

Aufgaben zu Analysis (grundlegendes Anforderungsniveau): 1. Stammfunktion von f(x) = 4x^3 - 6x durch Punkt (1|0) bestimmen und Symmetriebegründung für das Integral von -3 bis 3. 2. Nullstelle von f(x) = 2e^x - 2e nachweisen und Flächeninhalt zwischen Graph und Koordinatenachsen berechnen.

Aufgabengruppe 2 - Analysis 2-1 b - Integralrechn… · GK · Teil A · Analysis 2025

Der Graph von f wird nun um c mit c > 0 in y-Richtung verschoben, sodass der Graph das Quadrat in zwei Flächen gleichen Inhalts teilt. Berechnen Sie c.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Teilaufgabe 1a und 1d aus Aufgabe 1 (Analysis): Begründen des Anfangsvolumens (190 m³) über v(0) und Berechnen des zugeflossenen Volumens in den ersten 1,5 h. Anschließend in 1d die Bedeutung der Lösung t einer Integralgleichung mit Zu- und Abfluss im Sachzusammenhang angeben und den Aufbau der Gleichung erläutern.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2b - Integralrechnung: Flächen un… · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks im 1. Quadranten, das von der y-Achse, dem Graphen von f und der Parallelen zur x-Achse durch den Wendepunkt (x_W | f(x_W)) eingeschlossen wird.

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Teilaufgabe 1c und 1f: Bestimmen Sie die Geradengleichung x = a zur Halbierung der von f mit den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche und veranschaulichen Sie geometrisch im Graphen den Mittelwert von 250 s.

Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Gegeben ist die Gleichung ∫_k^(k+1) f(x) dx = 4 mit k ∈ ℝ. Geben Sie ohne weitere Rechnung die Zahl k mit -1,5 ≤ k ≤ 1,5 an und begründen Sie die Angabe mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1.

Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Teilaufgabe 1c: Geometrisch begründen, dass der Wert 1/2 * e * 4 ein Näherungswert für das Integral von -3 bis 1 über f(x)dx ist (mittels Dreieck in Abb. 1). Teilaufgabe 1d: Exakten Wert des Integrals mit Stammfunktion F(x) = (3-x)e^x berechnen und die prozentuale Abweichung des Näherungswerts ermitteln.

Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 3 a - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2025

Geben Sie den Wert des Integrals von 0 bis pi über f(x) dx an.

Aufgabe Gruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Analysis 2025

Gegeben sind in R_0^+ definierte Funktionen f und g, wobei g die Umkehrfunktion von f ist. G_f und G_g schneiden sich nur im Ursprung und bei (x_S | f(x_S)). Die Aussage ∫_0^{x_S} (g(x)-f(x)) dx = 2 · ∫_0^{x_S} (x-f(x)) dx soll beurteilt werden.

Aufgabe MMS 1: Aufgabe 1 c, d - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Teilaufgabe 1c: Beurteilen der Aussage, dass für jeden Wert von k das Integral von -1 bis 1 über f_k(x) dx den Flächeninhalt angibt, ohne das Integral zu berechnen. Teilaufgabe 1d: Untersuchen, ob für k > 3 der Inhalt der von G_k und h_k eingeschlossenen Fläche kleiner als k^5 ist.

Aufgabe MMS 1: Aufgabe 2 c, d - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Aufgabe 2c: Geometrische Erläuterung der Ungleichung ∫_4^5 r(x) dx < 120 anhand der Abbildung und Interpretation im Sachzusammenhang. Aufgabe 2d: Aufstellen eines Terms für das Wasservolumen im Auffangbecken nach Einschalten der Pumpe (x ≥ 3,5).

Aufgabe MMS 2: Aufgabe 1 c - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Begründen Sie ohne explizite Stammfunktionsbildung, dass jede Stammfunktion von f_b höchstens eine positive Nullstelle hat.

Aufgabe MMS 2: Aufgabe 2 c - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Berechnen Sie das Volumen des Wassers in der Mulde in Litern, wenn es dort an der tiefsten Stelle eine Höhe von 5 cm hat.

Aufgabe WTR 1 - 1c, 1e - Integralrechnung: Flächen und Be… · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Teilaufgaben 1c und 1e: Bestimmung des Scharparameters a über ein bestimmtes Integral und grafische Untersuchung der Lösungsanzahl von Integral_k^{k+1} f(x) dx = 4 für k >= 1,5.

Aufgabe WTR 2 - 1d, 1e - Integralrechnung: Flächen und Be… · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Teilaufgaben 1d und 1e: Flächeninhalt eines Sportvereins-Wappens über Integrale begründen und berechnen.

Aufgabe WTR 3 - 2c, 2d - Integralrechnung: Flächen und Be… · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Teilaufgaben 2c und 2d: Berechnung der elektrischen Energie über das Integral von k(x) von 6 bis 20 unter Nutzung der Stammfunktion K(x) sowie geometrische Begründung und Interpretation der Aussage ∫_6^20 (k(x)-h(x)) dx < 0 anhand der Flächenbilanz.

Aufgabe 1.1 a - Integralrechnung · GK · Teil A · Analysis 2024

Bestimmen Sie anhand des Graphen von f grafisch den Wert des Integrals von -3 bis -1,5 über f(x) dx.

Aufgabe 1.2 b - Integralrechnung · GK · Teil A · Analysis 2024

Der Graph von f(x) = x³ - 4x und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Teilaufgabe e: Gleichung zur Flächenhalbierung durch eine Ursprungsgerade durch P angeben und anhand einer Skizze veranschaulichen.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Tangente t eingeschlossen wird und aus zwei Flächenstücken besteht.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Bestimmen des Zeitpunkts des Überholens über das Integral der Geschwindigkeitsdifferenz und Berechnen des prozentualen Unterschieds der Geschwindigkeiten.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Teilaufgabe c: Existenz einer Zahl b > 1 mit Integralwert 0 anhand des Graphen begründen. Teilaufgabe e: Scharparameter k bestimmen, sodass die eingeschlossene Fläche den Inhalt 1 hat. Teilaufgabe f: Stammfunktionen von h_2 bestimmen, die die x-Achse berühren.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Bestimmen Sie die Algenkonzentration zu Beobachtungsbeginn, wenn sie nach 10 Jahren 100 mg/m³ beträgt, und veranschaulichen Sie das Vorgehen in Abbildung 3.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Teilaufgabe d: Gesamte Wegstrecke von Radfahrer A in den ersten 15 Sekunden berechnen. Teilaufgabe e: Integralbedingung ∫_0^z (f(x) - h(x)) dx = 0 bezüglich Bedeutung von z und z > x_s im Sachzusammenhang begründen.

Aufgabe 1.1 a - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2024

Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung des Graphen von f(x) = 2·sin(1/2 x), ob der Wert des Integrals von -2 bis 8 über f(x) dx negativ ist.

Aufgabe 1.2 b - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2024

Berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die der Graph von f_a mit der x-Achse einschließt.

Aufgabe MMS 1 - 2: Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Teilaufgabe b: Bestimmung von b > 1, sodass die Fläche zwischen Graph H und x-Achse im 4. Quadranten gleich der Fläche im 1. und 2. Quadranten ist. Teilaufgabe c: Begründen, dass die Integralfunktion k die Nullstelle -1 hat und für x < -1 negativ ist, sowie geometrische Deutung des Grenzwertes -4/e.

Aufgabe MMS 2 - 1: Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Im Folgenden gilt 0 < a < 4. Erläutern Sie die gegebenen Lösungsschritte mit Integraltermen und interpretieren Sie die Lösung a = 2 geometrisch.

Aufgabe MMS 2 - 2: Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Teilaufgabe c: Ermitteln des Abstands von U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn bei minimalem Abstand von 10 m. Teilaufgabe d: Erläutern, wie man t_H anhand der Graphen von v und w ermitteln kann, und Angeben eines Terms zur Berechnung von y_H.

Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Teilaufgaben 1d und 1f: Nachweisen, dass F eine Stammfunktion von f ist (mittels Ableitung), sowie geometrisch begründen und angeben, welchen exakten Wert das symmetrische Integral von -k bis k über f(x)dx hat.

Aufgabe WTR 2 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Teilaufgabe 1c: Bestimmung der Parameter a und b der Schar f_{a;b} über die Nullstelle bei x = 3 und den Flächeninhalt von 40,5 im vierten Quadranten.

Aufgabe WTR 2 - 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Teilaufgabe 2d: Berechnen der Anzahl der von 10:00 Uhr bis 15:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen mit dem Integral über k(x) und Ermitteln der prozentualen Abweichung vom Tabellenwert.

Aufgabe WTR 3 - 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

Flächenteilung im zweiten Quadranten durch eine Gerade h_k in zwei flächengleiche Teile mittels Stammfunktion F_k bestimmen.

Aufgabe A1 b · GK · Haupttermin · CAS 2023

f(x) = 3x² - 12. (i) Nullstellen von f bestimmen. (ii) Flächeninhalt berechnen, der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe A2 b · GK · Haupttermin · CAS 2023

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x^2 - 12 und bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.

Aufgabe A3 b · GK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = 3x^2 - 12. (i) Nullstellen von f berechnen. (ii) Flächeninhalt zwischen Graph von f und der x-Achse berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2023

Teilaufgaben a(3), b(1) und c(4): Integralwert von (q(x)-p(x)) von 0 bis 2 berechnen und geometrisch interpretieren, Fläche zwischen dem Graphen von h und der x-Achse bestimmen, sowie Wassermengen und Zeiträume aus der Durchflussrate w berechnen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabe B2 Teilaufgaben a(2) und a(5): Bestimmung des Werts des symmetrischen Integrals über f sowie Erklärung anhand der Punktsymmetrie. Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen G_f und der Tangente t sowie Ermittlung des Anteils der linken Teilfläche an der Gesamtfläche.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2023

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

Aufgabe b · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe a (3) · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

a)(3) Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} (q(x)-p(x))\,\mathrm{d}x$ an und interpretieren Sie diesen Wert geometrisch.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe b (1) · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist die Funktion h(x) = (x^2 - x - 1) * e^(-x). Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von h und die x-Achse einschließen.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (4) · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgabe c(4): (i) Bestimmen der Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden an der Messstelle vorbeifließt, durch Integration der Durchflussrate w(x). (ii) Berechnen der Zeiträume von drei Sekunden Länge, in denen 13 Kubikmeter Wasser vorbeifließen.

Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (2) · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Bestimmen Sie den Wert des Integrals von -b bis b über f(x) dx für b > 0 und erklären Sie das Ergebnis.

Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (5) · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgabe a(5): Flächeninhalt des durch Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn begrenzten Flächenstücks in der Realität mittels bestimmtem Integral ermitteln.

Aufgabe A1 - Aufgabe b · GK · Haupttermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse.

Aufgabe A2 - Aufgabe b · GK · Haupttermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. Berechnen Sie die Nullstellen von f und den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe A3 - Aufgabe b · GK · Haupttermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Berechnen Sie die Nullstellen von f. (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2023

Berechnung bestimmter Integrale zur Flächeninhalts- und Volumenbestimmung sowie Interpretation im geometrischen und physikalischen Sachkontext.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgaben a(2) und a(5): Deutung des symmetrischen Integrals über f, Bestimmung einer Stammfunktion von d(x), Berechnung des eingeschlossenen Flächeninhalts sowie des Anteils der linken Teilfläche.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe a(6): Flächeninhalt zwischen rechtem Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn mittels bestimmtem Integral ermitteln und in die Realität umrechnen.

Aufgabe b · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist f(x) = 3x² - 12. (i) Nullstellen berechnen. (ii) Flächeninhalt zwischen Graph von f und der x-Achse berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgaben a(3), b(1), b(3) und c(4): Bestimmung und geometrische Interpretation von Integralen, Berechnung eingeschlossener Flächeninhalte und des prozentualen Flächenanteils im Rechteck sowie Berechnung von Wassermengen und Interpretation zeitlicher Intervalle im Sachkontext.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Erklärung des Integrals über symmetrische Intervalle bei Punktsymmetrie; Bestimmung einer Stammfunktion der Differenzfunktion d(x), Berechnung des Flächeninhalts zwischen Graph und Tangente sowie des Anteils der linken Teilfläche.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabe B5(a)(6): Berechnung des Flächeninhalts zwischen rechtem Pfeiler, Abspannseil und Fahrbahn in der Realität mittels bestimmtem Integral.

Teil A - Aufgabe a · GK · Nachtermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Teil A - Aufgabe c · GK · Nachtermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x = 1/2.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2023

Teilaufgabe a(4): (i) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A, die zwischen dem Graphen der Funktion f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts der Teilfläche unterhalb der x-Achse am Flächeninhalt der Fläche A.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2023

Teilaufgabe c(2) und c(3): Inhalt der schraffierten Fläche des Seitenteils aus Integralen bestimmen sowie Masse eines Seitenteils der optimierten Liege berechnen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2023

Teilaufgabe b: (1) Berechnung der Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse. (2) Bestimmung des Inhalts der schraffierten Fläche für die Korsettanfertigung mittels Integralrechnung.

Aufgabe a · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe a: Gegeben ist f(x) = x³ - 2x². (1) Nullstellen bestimmen. (2) Inhalt der Fläche berechnen, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Aufgabe c · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe c: (1) Nachweisen, dass F eine Stammfunktion von f(x) = (2x-1)*e^(2x) ist. (2) Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen x=0 und x=1/2 berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

a) (4) (i) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche A, die zwischen dem Graphen der Funktion f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Ein Teil der Fläche A liegt unterhalb der x-Achse. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieser Teilfläche am Flächeninhalt der Fläche A.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe c(2)-(3): Ermitteln des Inhalts der schraffierten Fläche des Längsschnitts unter Angabe der Integrale sowie Berechnung der Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

b) (1) Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse berechnen. (2) Flächeninhalt des schraffierten Bereichs für das Korsett mittels Integralen bestimmen.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe a · GK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = x³ - 2x². (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · GK · Nachtermin · GTR 2023

c) (1) Nachweisen, dass F(x)=(x-1)*e^(2x) eine Stammfunktion von f(x)=(2x-1)*e^(2x) ist. (2) Berechnen des Flächeninhalts der schraffierten Fläche unterhalb der x-Achse zwischen x=0 und x=1/2.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe a · GK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · GK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = (2x - 1)*e^(2x) und F(x) = (x - 1)*e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x=0 und x=1/2.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe a · GK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = x^3 - 2x^2. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · GK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben sind f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x = 1/2 unter der x-Achse.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2023

Teilaufgabe a(4): Flächeninhalt zwischen Graph und Tangente sowie den Anteil unterhalb der x-Achse berechnen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabe B2 Teilaufgabe c: (1) Rechnerische Bestimmung einer Gleichung der Tangente t an g im Punkt P(2,4 | g(2,4)). (2) Ermittlung des Inhalts der schraffierten Fläche unter Angabe der benötigten Integrale. (3) Berechnung der Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2023

Teilaufgabe b: (1) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse. (2) Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, für die das besondere Material verwendet wird.

Aufgabe a · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Gegeben ist $f(x)=x^3-2x^2$. (1) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$-Achse einschließen.

Aufgabe c · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Gegeben ist f(x) = (2x - 1)e^(2x) und F(x) = (x - 1)e^(2x). (1) Weisen Sie nach, dass F eine Stammfunktion von f ist. (2) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen x = 0 und x = 1/2.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe a(4): (i) Flächeninhalt A berechnen, der zwischen dem Graphen von f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Prozentualen Anteil der Teilfläche von A bestimmen, die unterhalb der x-Achse liegt.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe c(2)-c(3): Ermitteln des Inhalts der schraffierten Fläche durch Angabe der benötigten Integrale und Schnittstellen sowie Berechnen der Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe b: Schnittpunkte der Tangenten t1 und t2 mit der x-Achse berechnen und Inhalt der schraffierten Fläche für das Korsett mittels Integralrechnung bestimmen.

Aufgabe 1 a (Analysis 1-3) - Integralrechnung · GK · Teil A · Analysis 2023

Berechnen Sie den Wert des Integrals von f(x) = x⁴ - 4x³ im Intervall [0; 1].

Aufgabe MMS 1 - 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Geometrische Bedeutung der Integralgleichung angeben und den Wert der oberen Integrationsgrenze b bestimmen.

Aufgabe MMS 1 - 3 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Teilaufgabe c: Graphische Bedeutung der mittleren Durchflussrate von 4 m³/s über die ersten 10 Sekunden. Teilaufgabe e: Berechnung der Zeiträume von 3 Sekunden, in denen 13 m³ Wasser vorbeifließen.

Aufgabe 1e - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von r und s und die Gerade mit der Gleichung x = 2 begrenzen.

Aufgabe 2a - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.

Aufgabe 1d - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Teilaufgabe 1d: Berechnung des Inhalts der Fläche, die der Graph G_f und die Tangente t zwischen den Schnittstellen x = -12 und x = 6 einschließen.

Aufgabe A1 - d · LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen. Flächeninhalt Quadrat = Flächeninhalt unter Parabel. Wert von a bestimmen.

Aufgabe A2 - d · LK · Haupttermin · CAS 2023

d) Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. (1) Zeigen Sie, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a^3 hat. (2) Ein Quadrat mit zwei Seiten auf den Koordinatenachsen berührt den Hochpunkt von f. Der Flächeninhalt des Quadrats entspricht dem Flächeninhalt des Flächenstücks.…

Aufgabe A3 - d · LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit Nullstellen bei 0 und 2a. (1) Zeigen, dass die Fläche zwischen Graph und x-Achse 4/3 * a^3 beträgt. (2) Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen; Flächeninhalt von Quadrat und Fläche stimmen überein. Wert von a bestimmen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2023

Teilaufgabe b(1)-(3)(ii): Bestimmung der Nullstelle, des Inhalts der unbegrenzten Fläche unter der x-Achse, des Flächenverhältnisses der durch die y-Achse geteilten Teilflächen, Lösung und geometrische Interpretation von int_0^z f(x)dx = 0 sowie Einzeichnen und Berechnen des Flächeninhalts A zwischen Graph und…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2023

Teilaufgaben a(2), a(5), a(6) und a(8): Bedeutung von f(2)<0 im Sachzusammenhang; Begründung von s(x) als Bestandsfunktion und Nachweis s(4)=0; Zunahme der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr sowie mittlere Änderungsrate berechnen; Zeitpunkt gleicher Staulänge grafisch markieren und über Flächeninhalte begründen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2023

Flächeninhalt unter dem Abspannseil mithilfe eines bestimmten Integrals berechnen und Deutung eines Summenterms für die Gesamtlänge der Halteseile im Sachzusammenhang.

Aufgabe d · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Der Hochpunkt liegt auf einer Seite eines Quadrats an den Achsen. Die Quadratfläche gleicht dem Parabelinhalt. Wert von a bestimmen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgabe b) (1) bis (3)(ii): Uneigentliches Integral über (-unendlich, x_0] bestimmen, Flächenverhältnis an der y-Achse berechnen, Nullstelle der Integralfunktion von 0 bis z bestimmen und geometrisch deuten, Fläche zwischen Dreiecksseite NY und Graph zeichnen und ihren Inhalt berechnen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabe B2 (Integralrechnung und Bestandsänderungen): (5) Begründen, dass s(x) die Staulänge für 06:00 bis 10:00 Uhr angibt, und rechnerisch bestätigen, dass um 10:00 Uhr s(4)=0 gilt. (6) Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr (s(2) - s(0,5)) und durchschnittliche Änderungsrate in diesem Zeitraum berechnen.…

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe d · LK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe d: f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt (4/3)a^3 hat. (2) Der Hochpunkt von f liegt auf der Seite eines achsenparallelen Quadrats an den Koordinatenachsen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist gleich dem Flächeninhalt unter f. Wert von a bestimmen.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe d · LK · Haupttermin · GTR 2023

Gegeben ist f(x) = -x² + 2ax mit a > 1 und Nullstellen bei 0 und 2a. (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a³ hat. (2) Der Hochpunkt von f liegt auf der oberen Kante eines achsenparallelen Quadrats. Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Flächeninhalt unter f überein. Den Wert von a…

Aufgabe A3 - Teilaufgabe d · LK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe d: Flächeninhalt unter einer Parabel berechnen und Parameter a über ein flächengleiches Quadrat ermitteln.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2023

Teilaufgabe b: (1) Ableitung F'(x) bestimmen und lineares Gleichungssystem für Koeffizienten a, b, c, d ermitteln. (2) Inhalt der Fläche im 4. Quadranten berechnen. (3) Lösung z ≈ 2,271 der Integralgleichung geometrisch interpretieren. (4) Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche im 3. Quadranten berechnen. (5) Fläche A…

Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · LK · Haupttermin · GTR 2023

Untersuchung der Staulänge mithilfe der Änderungsrate f(x) und der Bestandsfunktion s(x): Nullstellen, Bedeutung von f(2)<0, Zeitpunkt maximaler Staulänge, Bestandsfunktion s(x) nachweisen, Zunahme und mittlere Änderungsrate zwischen 06:30 und 08:00 Uhr, Zeitpunkt ermitteln mit 0,5 km weniger Stau als eine Stunde…

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2023

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität.

Aufgabe d · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Für f(x) = -x² + 2ax: (1) Zeigen, dass das Flächenstück mit der x-Achse den Inhalt 4/3 a³ hat. (2) Den Parameter a bestimmen, sodass der Flächeninhalt eines an den Achsen anliegenden Quadrats mit dem Hochpunkt auf einer Seite dem Flächeninhalt entspricht.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe b · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Teilaufgabe b: (1) Ableitung F'(x) bilden und Koeffizientenvergleich für LGS aufstellen. (2) Nullstelle und Inhalt der Fläche im 4. Quadranten berechnen. (3) Geometrische Interpretation von int_0^z f(x) dx = 0 für z ≈ 2,271. (4) Flächeninhalt der nach links unbegrenzten Fläche im 3. Quadranten bestimmen. (5) Fläche A…

Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (5)-(8) · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabe B2 Teilaufgabe a (5)-(8): Begründung von s(x) als Bestandsfunktion und Auflösung um 10:00 Uhr; Zunahme und mittlere Änderungsrate der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr berechnen; Zeitpunkt bestimmen, an dem die Staulänge 0,5 km geringer ist als 1 h vorher; gleichen Stauzeitpunkt wie um 07:30 Uhr im Graphen…

Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (5) · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Flächeninhalt zwischen dem rechten Pfeiler, dem Abspannseil und der Fahrbahn durch ein bestimmtes Integral ermitteln und in die Realität umrechnen.

Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2023

Gegeben ist f(x) = -x^2*(x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen in Abhängigkeit von k angeben. (2) Wert von k bestimmen, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 FE beträgt.

Teilaufgabe c(2) · LK · Nachtermin · CAS 2023

Berechnen Sie F'(x) für F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) eine Stammfunktion F(x).

Teilaufgabe d · LK · Nachtermin · CAS 2023

Teilaufgabe d: (1) Rechnerischer Nachweis der Schnittstelle x = 1/3, (2) Nachweis der Stammfunktion D(x) für d(x) = g(x) - f(x), (3) Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen den Graphen von x = 0 bis x = 1/3.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS 2023

Flächeninhalte und -verhältnisse: (a)(4)(i) Bestimmung des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f und der Tangente t. (a)(4)(ii) Prozentualer Anteil der Teilfläche von A unterhalb der x-Achse. (b)(2) Untersuchung, ob ein Parameter a > 0 existiert, für den die Teilfläche von g_a rechts der y-Achse doppelt so groß…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS 2023

b) (2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche unter Angabe der benötigten Integrale (Kontrollwert ~1,25 FE). (3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS 2023

Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, für die das besondere Material des Korsetts verwendet wird (unterteilt durch die Wendepunkte W1 und W2 sowie die Tangentenabschnitte bis zur x-Achse).

Aufgabe b · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Gegeben ist f(x) = -x^2 * (x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen von f in Abhängigkeit von k angeben. (2) Den Wert von k bestimmen, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 FE beträgt.

Aufgabe c(2) - Stammfunktion · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Berechnen Sie F'(x) für F(x) = (a*x^2 + b*x + c)*e^x und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) eine Stammfunktion F(x).

Aufgabe d · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabe d: (1) Rechnerischer Nachweis, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle von f und g ist. (2) Nachweis, dass D eine Stammfunktion von d(x) = g(x) - f(x) ist. (3) Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen den Graphen von x = 0 bis x = 1/3.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe a(4): Flächeninhalt A zwischen f(x) und der Tangente t sowie prozentualer Anteil der Teilfläche unterhalb der x-Achse. Teilaufgabe b(2): Untersuchung, ob es einen Parameter a > 0 gibt, für den die Fläche rechts der y-Achse doppelt so groß ist wie links davon.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabe B2 Teilaufgabe b: Bestimmung der Tangentengleichung im Punkt P(2,4|g(2,4)), Ermittlung der Schnittstellen und Angabe der Integrale zur Berechnung der Querschnittsfläche der optimierten Liege sowie Berechnung der Masse des Seitenteils.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und den beiden Wendetangenten t_1 und t_2 für die Anfertigung des Korsetts.

Aufgabe b · LK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist die Funktion f(x) = -x²·(x-k) mit k > 0. (1) Geben Sie die Nullstellen von f in Abhängigkeit von k an. (2) Bestimmen Sie den Wert von k, für den der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 FE beträgt.

Aufgabe c(2) - Stammfunktion · LK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben ist F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x. Berechnen Sie F'(x) und ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich mit f(x) = (x^2 + 4x - 5)e^x eine Stammfunktion F(x).

Aufgabe d · LK · Nachtermin · GTR 2023

Gegeben f(x) = (2x - 1)e^(2x) und g(x) = -x e^(2x). (1) Nachweisen, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle ist. (2) Nachweisen, dass D(x) = (-3/2 x + 5/4)e^(2x) Stammfunktion von d(x) = g(x) - f(x) ist. (3) Flächeninhalt der schraffierten Fläche berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2023

Teilaufgabe a(4): (i) Flächeninhalt A bestimmen, der zwischen dem Graphen von f und der Tangente t eingeschlossen wird. (ii) Prozentualen Anteil des unterhalb der x-Achse liegenden Teils der Fläche A bestimmen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2023

b) (2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) unter Angabe der benötigten Integrale. (3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2023

Teilaufgabe b: Flächeninhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) = 0,8·e^(-x²) und den Tangenten t1 und t2 sowie der x-Achse berechnen.

Aufgabe b) · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x^2 * (x - k) mit k > 0. (1) Nullstellen von f in Abhängigkeit von k angeben. (2) Wert von k bestimmen, für den die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche 4/3 FE beträgt.

Aufgabe c) (2) - Stammfunktion · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe c)(2): Für F(x) = (a·x^2 + b·x + c)·e^x soll durch Ableiten unter Produktregel und Koeffizientenvergleich mit f(x) = (x^2 + 4·x - 5)·e^x die Parameter a, b, c und die Stammfunktion F(x) bestimmt werden.

Aufgabe d) · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

d) Gegeben sind f(x) = (2x - 1)e^(2x) und g(x) = -x e^(2x). (1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass x = 1/3 die einzige Schnittstelle ist. (2) Weisen Sie nach, dass D(x) = (-3/2 x + 5/4)e^(2x) eine Stammfunktion der Differenzfunktion d(x) = g(x) - f(x) ist. (3) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen…

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe a)(4): (i) Bestimmung des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f und der Tangente t. (ii) Bestimmung des prozentualen Anteils der Teilfläche von A unterhalb der x-Achse am Flächeninhalt von A.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Teilaufgabe b)(2)-(3): Inhalt der schraffierten Fläche zwischen Randfunktionen g(x), h(x) und Tangente t bestimmen sowie Masse eines Seitenteils der Liege berechnen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Bestimmen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche zwischen dem Graphen von f, den beiden Wendetangenten t1, t2 und der x-Achse, für die das besondere Material des Skoliose-Korsetts verwendet wird.

Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Analysis 2023

Gegeben ist f(x) = -x^2 + 2ax mit a > 1 und Nullstellen 0 und 2a. a) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse 4/3 a^3 beträgt. b) Der Hochpunkt liegt auf einer Quadratseite, zwei Seiten auf den Koordinatenachsen. Der Flächeninhalt des Quadrats entspricht dem Flächeninhalt des Graphen mit der…

Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 3 b - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2023

Mit dem Term pi * int_0^2 (f(x))^2 dx kann das Rotationsvolumen eines Körpers berechnet werden. Begründen Sie, dass dieses Volumen größer als pi * 0,5^2 + pi * 1^2 ist.

Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Teilaufgaben e bis h zur Modellierung der Staulänge: Begründung der Bestandsfunktion s(x) und vollständige Stauauflösung um 10:00 Uhr, Berechnung der Zunahme der Staulänge von 06:30 bis 08:00 Uhr sowie der durchschnittlichen Änderungsrate, Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem die Staulänge 0,5 km geringer ist als 1 h…

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Bestimmen Sie den positiven Wert des Scharparameters a, für den der Graph G_a und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen.

Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und… · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Berechnen Sie unter Verwendung der gegebenen geometrischen Definition den durchschnittlichen Funktionswert von h über dem Intervall [0; 4].

Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Teilaufgaben e bis g: Stammfunktion nachweisen, Zunahme und mittlere Änderungsrate der Staulänge berechnen sowie Zeitpunkt gleicher Staulänge grafisch begründen.

Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks in der Realität, das vom rechten Pfeiler, dem Abspannseil und der Fahrbahn begrenzt wird.

Aufgabe 2 (WTR 2) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Geben Sie die Bedeutung des Terms sum_{k=1}^{24} s(-20+1,6*k) * 10 im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.

Aufgabe A1 b · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen beider Graphen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)e^x+0,5x^2-3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ermitteln.

Aufgabe A1 c · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe A2 b · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x+0,5*x^2-3*x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Den Inhalt der eingeschlossenen Fläche ermitteln.

Aufgabe A2 c · GK · Haupttermin · CAS 2022

Für f(x)=x^2 die reelle Zahl m < 0 bestimmen, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe A3 b · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind die Funktionen f(x) = (x-3)*e^x und g(x) = x-3. (1) Bestimmen Sie die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Weisen Sie nach, dass D(x) = (4-x)*e^x + 0,5*x^2 - 3*x eine Stammfunktion von d(x) = g(x) - f(x) ist. (3) Berechnen Sie den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.

Aufgabe A3 c · GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben ist f(x) = x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m mit m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y = m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2022

Teilaufgabe b(1): Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche A, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = 6 einschließen. Teilaufgabe c(1): Begründen Sie die Bedingungen I und II für die Tangente t und erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. Teilaufgabe c(2): Bestimmen Sie für z = 0,9428 eine…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2022

Teilaufgaben b und e: Materialkosten für Betonelemente der Skatebahn über Integrale berechnen und Gleichungen für Abmessungen aufstellen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2022

Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten des Absatzes für Fitnessarmband und Smartwatch bei x = 5 Monaten vergleichen. (2) Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Smartwatches ermitteln. (3) Untersuchen, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die Gesamtanzahl verkaufter Fitnessarmbänder und Smartwatches…

Aufgabe b · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen bestimmen. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x+0,5*x^2-3*x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt zwischen f und g ermitteln.

Aufgabe c · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl m mit m < 0, für die der Graph von f(x)=x^2 und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe b)(1): Flächeninhalt A berechnen, den der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = 6 einschließen. Teilaufgabe c)(1)(ii): Geometrische Bedeutung der linken Seite von Bedingung III (Summe zweier Integrale) erläutern.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben b und e: Ermittlung von Materialkosten und Dimensionierung der Betonelemente E2, E3 und E4 mithilfe bestimmter Integrale.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe b: Vergleich der momentanen Änderungsraten für das Fitnessarmband und die Smartwatch nach 5 Monaten, Bestimmung des Gesamtabsatzes an Smartwatches im ersten Jahr (12 Monate) mittels Integral und Ermittlung des Zeitpunkts t > 0, an dem die Gesamtabsätze übereinstimmen.

Aufgabe A1 b · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Zeigen Sie, dass D(x)=(4-x)e^x + 0.5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.

Aufgabe A1 c · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe A2 b · GK · Haupttermin · GTR 2022

b) Gegeben sind f(x) = (x-3)e^x und g(x) = x-3. (1) Schnittstellen beider Graphen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)e^x + 0,5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ermitteln.

Aufgabe A2 c · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben ist f(x) = x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, für die der Graph von f und die Gerade y = m·x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe A3 b · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen angeben. (2) Zeigen, dass D(x) Stammfunktion von d(x) ist. (3) Flächeninhalt zwischen f und g ermitteln.

Aufgabe A3 c · GK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche von 36 einschließen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2022

Teilaufgaben b(1) und c(1)(ii): Berechnen des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und x=6 sowie Erläutern der linken Seite der Integralgleichung aus Bedingung III.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2022

Berechnung der Materialkosten für das Betonelement E2 mittels Integral über f(x) sowie Analyse und Modellierung von Kosten und Längen für die Elemente E3 und E4 über die Funktion g(x).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2022

Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten des Absatzes für Fitnessarmband und Smartwatch für x = 5 Monate vergleichen. (2) Anzahl der im ersten Jahr verkauften Smartwatches bestimmen (Integral von 0 bis 12). (3) Zeitpunkt ermitteln, zu dem die Gesamtzahl der verkauften Fitnessarmbänder und Smartwatches übereinstimmt.

Aufgabe b · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen bestimmen, (2) zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x + 0,5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist, (3) Flächeninhalt zwischen den Graphen ermitteln.

Aufgabe c · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl m mit m < 0, für die der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche des Inhalts 36 einschließen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe b(1): Berechnen des Flächeninhalts A, der vom Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x = 6 eingeschlossen wird. Teilaufgabe c(1)(ii): Erläutern der linken Seite der Bedingung III: \int_0^z f(x) dx + \int_z^c t(x) dx = 4.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben b und d: Berechnung der Materialkosten von Betonelementen mittels bestimmter Integrale und Aufstellen von Gleichungen zur Kostenbegrenzung.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten von Fitnessarmband und Smartwatch bei x = 5 Monaten vergleichen. (2) Anzahl der im 1. Jahr insgesamt verkauften Smartwatches bestimmen. (3) Untersuchen, ob und wann die Gesamtverkaufszahlen beider Produkte übereinstimmen.

Aufgabe c - Integralberechnung · GK · Nachtermin · CAS 2022

Berechnen Sie das bestimmte Integral der ganzrationalen Funktion f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabe B1 (Integralrechnung) Teile a(4), b und c: Bestimmung von Stammfunktionen und Anfangsbedingungen, Strecken- und Zeitberechnungen anhand von Integralen über f(t) und g(t), sowie Modellierung und grafische Darstellung der Bremsphase eines Dragsters.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2022

Teilaufgaben c, d und f der Aufgabe B2: Sekante durch Wendepunkte und Integrale (Flächensymmetrie), Tangentennachweis und Flächenverhältnis zwischen f und Tangente t, Schnittpunkte und Dreiecksumfang mit p_{3/8} sowie Flächenhalbierung durch die x-Achse für Parabelschar p_a.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2022

Teilaufgabe b: Bestimmung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum von 0 bis 20 Uhr mittels des Mittelwertsatzes der Integralrechnung.

Aufgabe c(1) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabe B1 - Integralrechnung: Begründung und Angabe von Bedingungen für Stammfunktionen F(t), Analyse des Überholvorgangs eines Kamerafahrzeugs (g(t) = 45 m/s) mittels Integralen und Flächeninhalten, Ermittlung der Zielliniendurchfahrt (402 m) sowie Modellierung und Überprüfung des Bremswegs (lineare Bremsfunktion…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben c, d(2) und f(2): Sekante zeichnen, Integrale zwischen f und Sekante s berechnen und per Symmetrie begründen, Flächenverhältnis zwischen f und Tangente t prüfen, Parameter a für Flächenhalbierung ermitteln.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgabe b: Bestimmung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum von 0 bis 20 Uhr mithilfe der Integralrechnung.

Aufgabe A1 c(1) - Integral · GK · Nachtermin · GTR 2022

Berechnen Sie das Integral von f(x) von -1 bis 1.

Aufgabe A2 c(1) - Integral · GK · Nachtermin · GTR 2022

Berechnen Sie das Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.

Aufgabe A3 c(1) - Integral · GK · Nachtermin · GTR 2022

Berechnen Sie das Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2022

Teilaufgaben a(4), b und c: Streckenfunktion F(t), Überholvorgang mit Kamerafahrzeug über Integrale modellieren, Zielliniendurchfahrt und Bremsvorgang bis zum Stillstand grafisch und rechnerisch bestimmen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2022

Berechnung von Integralen und Flächeninhalten zwischen den Graphen von f, Sekante s, Tangente t und Parabel pa: Nachweis von Integralwerten, Flächenverhältnissen und Ansatz zur Flächenhalbierung.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2022

Teilaufgabe b: Berechnung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Intervall von 0 bis 20 Uhr mittels des Mittelwerts eines Integrals.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben zu Integralrechnung und Stammfunktionen beim Dragsterrennen: a)(4) Begründung der Nichteindeutigkeit von F'(t)=f(t) und Angabe einer Anfangsbedingung F(0)=0; b)(2) Strecke des Kamerafahrzeugs in 4 s; b)(3) Flächenbegründung in Abbildung 1; b)(4) Berechnung von ∫[0;1] (g(t)-f(t)) dt ≈ 29,3 m und Deutung;…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Integralrechnung mit ganzrationaler Funktion f vierten Grades: - c)(1)-(4): Sekante durch Wendepunkte einzeichnen, Integral nachweisen, Teilintegrale bestimmen und anhand von Symmetrie und Flächenbedeutung begründen. - d)(2): Flächen zwischen f und der Tangente t berechnen und Schülerin-Behauptung (größere Fläche > 8…

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Berechnen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur des Dromedars in dem betrachteten Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr mithilfe des Mittelwerts eines Integrals.

Aufgabe c - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.

Aufgabe 1.1 - Integralrechnung: Flächen und Bestä… · GK · Teil A · Analysis 2022

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die in der Abbildung grau markiert ist.

Aufgabe 2 · GK · Teil A · Analysis 2022

Reelle Zahl m < 0 bestimmen, für die der Graph von f(x) = x^2 und die Gerade y = m·x eine Fläche vom Inhalt 36 begrenzen.

Aufgabe 1 (MMS 1) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Flächenberechnung der seitlichen Carport-Verkleidung (abzüglich 20 cm Bodenstreifen) über die gesamte Länge von 11,50 m mittels Trapezformel und bestimmtem Integral von f(x).

Aufgabe 1 (MMS 2) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Teilaufgaben 1.e und 1.f: Bestandsrechnung und Vergleich verkaufter Gesamtmengen über Integrale.

Aufgabe 2 (MMS 2) - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Teilaufgabe 2.b: Flächenstück zwischen Graph von h, Wendetangente t und x-Achse für 0 ≤ x ≤ 20 markieren und dessen Flächeninhalt berechnen.

Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

e) Geometrisch begründen, dass das Integral von 0 bis 2 über f(x)dx und der Term 1/2*(2 + 14/15)*(16/15) näherungsweise übereinstimmen. f) Prozentuale Abweichung des Näherungswerts vom exakten Integral berechnen.

Aufgabe WTR 2 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Teilaufgabe f: Parameter a, b und k der Integralgleichung durch geometrische Transformationen bestimmen.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · LK · Haupttermin · CAS 2022

Schnittstellen von f(x) = (x-3)e^x und h(x) = x-3 bestimmen und den Inhalt der eingeschlossenen Fläche ermitteln.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · LK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Rechnerisch die beiden Schnittstellen bestimmen. (2) Flächeninhalt zwischen den Graphen von h und f mit Stammfunktion D(x)=(4-x)*e^x + 0,5*x^2 - 3*x ermitteln.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · LK · Haupttermin · CAS 2022

Schnittstellen von f(x) = (x-3)e^x und h(x) = x-3 bestimmen und den Inhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche ermitteln.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2022

Teilaufgaben a(2), a(3) und c(4): Flächeninhalte und uneigentliche Integrale bei f und der Schar g_k berechnen bzw. untersuchen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2022

Materialkosten für E2 über das Integral von f(x) berechnen. Anschließend für E3 und E4 Gleichungen aufstellen, Kosten ermitteln und prozentuale Überschreitung berechnen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS 2022

Teilaufgabe a(3): Geometrische Interpretation des Sachverhalts F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d: Begründung unter Verwendung von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x) dx = ∫_{0,5}^1 f_{-1}(x) dx gilt.

Aufgabe c · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen von f und h. (2) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche mithilfe der Stammfunktion D(x).

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabe B1 - Integralrechnung: Teilaufgaben a)(2), a)(3), b)(1)(ii) und c)(4). Flächeninhalt unter f bis x=7, Grenzwert für w->unendlich und geometrische Bedeutung, Erläuterung der Integrale in Bedingung III sowie Prüfung der Abhängigkeit des uneigentlichen Integrals von g_k vom Parameter k.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Berechnung der Materialkosten für Betonelement E2 mittels Integral über f(x), Aufstellen von Integralgleichungen für die Länge d von E3 bei gegebenen Kosten sowie Berechnung der Kosten für E4 und der prozentualen Überschreitung.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe a)(3): Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^{2022} f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d): Begründung mithilfe von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x) dx = ∫_{0,5}^1 f_{-1}(x) dx gilt.

Aufgabe c · LK · Haupttermin · GTR 2022

Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Ermitteln Sie den Inhalt der eingeschlossenen Fläche mithilfe der gegebenen Stammfunktion D(x).

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2022

Teilaufgaben a(2), a(3), b(1)(ii), c(3): Flächeninhalte, Integralterme und uneigentliche Integrale berechnen und deuten.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2022

Berechnen Sie die Materialkosten für das Element E2 (Teilaufgabe b). Stellen Sie Gleichungen auf und berechnen Sie Kosten für E3 und E4 in Abhängigkeit von den Abmessungen (Teilaufgabe d).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2022

Teilaufgabe a(3): Geometrische Interpretation des Sachverhalts für jede Stammfunktion F_1 und u > 2022. Teilaufgabe d: Begründung mithilfe von Abbildung 2, dass das Integral von -0,5 bis 1 gleich dem Integral von 0,5 bis 1 für f_{-1} ist.

Aufgabe c (2) - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen h und f eingeschlossen wird, mithilfe der gegebenen Stammfunktion D(x).

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgaben a)(2), a)(3), b)(1)(ii) und c)(3): Bestimmung des Flächeninhalts von f mit x=7, uneigentliches Integral von f gegen unendlich und Interpretation, Erläuterung der Integrale für die Fläche unter f und t, sowie rechnerische Prüfung des uneigentlichen Integrals der Schar g_k auf Unabhängigkeit vom Parameter k.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Berechnen Sie die Materialkosten für Element E2 (Teilaufgabe b) und bearbeiten Sie die Aufgaben zur Integralrechnung bei E3 und E4 zur Bestimmung von d bzw. d_neu (Teilaufgabe d).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Teilaufgabe a)(3): Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d): Begründung unter Verwendung von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x) dx = ∫_{0,5}^1 f_{-1}(x) dx.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2022

b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (2) Gegeben ist ga(x) = a * f(x+2), a > 1. Geben Sie begründet an, wie sich der Flächeninhalt im Vergleich zu (1) ändert.

Aufgabe A1 - Teilaufgabe d(2) · LK · Nachtermin · CAS 2022

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f mit f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 an.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2022

Berechnen des Flächeninhalts zwischen der Parabel f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 und der x-Achse sowie begründetes Angeben, wie sich der Flächeninhalt für die gestreckte und verschobene Funktionenschar g_a(x) = a·f(x+2) ändert.

Aufgabe A2 - Teilaufgabe d(2) · LK · Nachtermin · CAS 2022

(2) Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2022

Berechnen des Flächeninhalts zwischen f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 und der x-Achse sowie begründete Angabe des Einflusses der Parametertransformation g_a(x) = a·f(x+2) auf den Flächeninhalt.

Aufgabe A3 - Teilaufgabe d(2) · LK · Nachtermin · CAS 2022

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an für f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe b(3) · LK · Nachtermin · CAS 2022

Teilaufgabe b(3): Begründung, warum eine Stammfunktion F(t) mit F'(t) = f(t) nicht eindeutig bestimmt ist, und Angabe einer zusätzlichen Anfangsbedingung zur eindeutigen Festlegung.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe c · LK · Nachtermin · CAS 2022

Vergleich der Fahrt eines Kamerafahrzeugs (g(t) = 45 m/s) mit dem Dragster: Zeichnen von g, Schnittpunkt der Graphen, Bedeutung des Differenzintegrals für a=1, Maximum des Integrals und Zeitpunkt a mit Integralwert 0.

Aufgabe B1 - Teilaufgabe d · LK · Nachtermin · CAS 2022

d) (1) Grafische Darstellung der konstanten Geschwindigkeit in Abb. 2 und Bestimmung des Zeitpunkts, nach dem der Dragster die 402 m lange Ziellinie überquert. (2) Grafische Darstellung der Bremsphase bis t=20 s und rechnerische Bestimmung der Funktionsgleichung b(t). (3) Nachweis durch Berechnung des Bremswegs ab der…

Aufgabe B2 - Teilaufgabe c · LK · Nachtermin · CAS 2022

Sekante s(x) = -5/8 durch die Wendepunkte. (1) Sekante in die Abbildung einzeichnen. (2)(i) Integral von -sqrt(5) bis sqrt(5) über (s(x)-f(x))dx berechnen. (2)(ii) Ohne weitere Rechnung begründen, dass Integral_-1^1 (f(x)-s(x))dx = 2 * Integral_-sqrt(5)^-1 (s(x)-f(x))dx gilt.

Aufgabe B2 - Teilaufgabe d (Integralrechnung) · LK · Nachtermin · CAS 2022

Untersuchung der Tangentenschar t_b(x) an f(x) = 1/8 x^4 - 3/4 x^2. Nachweis der Tangenteneigenschaft, Bestimmung der Schnittstellen für b=1 und Zeichnen von t_1, Berechnung des Flächeninhalts A_{t_1 f}, Ermittlung des maximalen vertikalen Abstands auf [-3; 1], Bestimmung weiterer Werte von b mit genau einer…

Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS 2022

Bestimmen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur im Intervall [0; 20] sowie die Werte von u für zweistündige Zeiträume [u; u+2], in denen die Durchschnittstemperatur mindestens 40 °C beträgt.

Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt, und begründen Sie die Änderung des Flächeninhalts für die Schar g_a.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben c und d: Analyse der Geschwindigkeitsdifferenz von Dragster und Kamerafahrzeug (Schnittpunkt, Deutung und Extremwert des Integrals, Nullstelle des Abstands). Bestimmung von Zielüberquerung, linearer Bremsfunktion und Bremsweg.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgaben c und d (2)(i)-(ii), d (3)-(5): Untersuchung von Schnittstellen und Flächeninhalten zwischen dem Graphen von f und der Sekante s sowie den Tangenten t_b.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgabe b: (1) Durchschnittliche Körpertemperatur im 20-Stunden-Zeitraum [0; 20] berechnen. (2) Zweistündige Zeiträume [u; u+2] mit durchschnittlicher Körpertemperatur mindestens 40 °C ermitteln.

Teil A - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · GTR 2022

b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (2) Gegeben ist ga(x) = a * f(x+2), a in R, a > 1. Begründen Sie, wie sich der Flächeninhalt von ga im Vergleich zu (1) ändert.

Teil A - Teilaufgabe d(2) · LK · Nachtermin · GTR 2022

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an für f(x) = 2x³ - x² - 4x + 1.

Aufgabe B1 - Teilaufgaben b(3), c und d · LK · Nachtermin · GTR 2022

Teilaufgaben b(3), c und d: Modellierung der Fahrstrecke mit Stammfunktion F(t), Analyse der Relativbewegung zu einem mit 45 m/s fahrenden Kamerafahrzeug mithilfe von Integralen sowie Modellierung der Phase konstanter Höchstgeschwindigkeit und des anschließenden linearen Bremsvorgangs bis zum Stillstand.

Aufgabe B2 - Teilaufgaben c und d · LK · Nachtermin · GTR 2022

Teilaufgabe c: Sekante s durch Wendepunkte einzeichnen, Integral nachweisen und Integralgleichung begründen. Teilaufgabe d: Tangentenschar tb nachweisen, Schnittstellen in Abhängigkeit von b bestimmen, konkrete Werte für b=1 berechnen, t1 einzeichnen und Fläche bestimmen. Weitere b-Werte für einteilige Flächen und…

Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · LK · Nachtermin · GTR 2022

Mit der Mittelwertformel ist die durchschnittliche Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum [0; 20] sowie das Intervall für u zu bestimmen, für das zweistündige Zeiträume [u; u+2] eine mittlere Temperatur von mindestens 40 °C aufweisen.

Aufgabe b · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x² + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Flächeninhalt mit x-Achse berechnen. (2) Schar ga(x) = a·f(x+2), a>1: Begründen, wie sich der Flächeninhalt im Vergleich zu (1) ändert.

Aufgabe d(2) - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Teilaufgabe d(2): Eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion der ganzrationalen Funktion f(x) = 2x³ - x² - 4x + 1 angeben.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabe B1 (Teilaufgaben b(3), c und d): Begründung zur Nichteindeutigkeit einer Stammfunktion F und zusätzliche Bedingung; Analyse der Bewegung eines parallel fahrenden Kamerafahrzeugs g(t)=45 mittels Integralen (Schnittpunkt, Bedeutung der Integrale, Maximum des Vorsprungs, Zeitpunkt gleicher Strecke); Modellierung…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Untersuchung von Flächeninhalten zwischen Sekante s(x) = -5/8 bzw. Tangentenschar t_b(x) und Funktionsgraph f(x) = 1/8 x⁴ - 3/4 x² (Teilaufgaben c und d(2)-(6)).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung die durchschnittliche Körpertemperatur eines Dromedars von 0 bis 20 Uhr berechnen sowie die zweistündigen Intervalle [u; u+2] bestimmen, in denen der Mittelwert mindestens 40 °C beträgt.

Aufgabe MMS 1 · 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Teilaufgabe 1 c: Zeitraum bestimmen, in dem der ICE eine Strecke von genau 7 km zurücklegt.

Aufgabe MMS 1 · 2 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Berechnen Sie das Integral von -2 bis 2 über s(x) dx und beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Aufgabe MMS 2 · 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Teilaufgaben 1 c und 1 f: Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022 und Begründung der Gleichheit ∫_{-0,5}^1 f_1(x) dx = ∫_{0,5}^1 f_1(x) dx anhand von Abb. 2.

Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Teilaufgabe 1c: Länge der vom ICE in den ersten zwei Minuten zurückgelegten Strecke mittels bestimmtem Integral berechnen.

Aufgabe 2 (WTR 1) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Es gilt das Integral von s(x) von -2 bis 2 ist 4. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Teilaufgabe 1d: Integral über f(x) von 0 bis 1 mithilfe der Integrationsregel für g'(x)·e^(g(x)) berechnen. Teilaufgabe 1e: Geometrische Interpretation von F(w) - F(0) ≈ ∫_0^{2022} f(x) dx für w > 2022.

Aufgabe 2 (WTR 3) - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Teilaufgabe 2a und 2b: Stammfunktion von i(x) = pi*(50^2 - (50 - x)^2) bestimmen sowie die geometrische und physikalische Bedeutung der Terme im Sachkontext anhand von Abbildung 2 begründen.

Aufgabe A1 Teilaufgabe a) (2) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x^3 - x und die x-Achse einschließen. Die Nullstellen dürfen der Abbildung entnommen werden.

Aufgabe A2 Teilaufgabe a) (2) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x^3 - x und die x-Achse einschließen.

Aufgabe A3 Teilaufgabe a) (2) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x^3 - x und die x-Achse einschließen (Nullstellen dürfen Abbildung 1 entnommen werden).

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS 2021

Im Intervall [1; 5] begrenzen der Graph von f und die Tangente t zusammen mit der x-Achse eine Fläche F. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von F.

Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · GK · Haupttermin · CAS 2021

Teilaufgabe b)(3) Geometrische Deutung von Integral(f(x)-h_3.75(x) dx, 0, 10) = 0. Teilaufgabe c) Anwendungskontext Glyzerintank: (1) Interpretation des Punktes (4|240), (2) Beurteilung der Aussage über das Maximum des Tankinhalts, (3) Zunahme zwischen t=8 und t=10, (4) Tankinhalt nach 20 Stunden.

Aufgabe B5 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · GK · Haupttermin · CAS 2021

Bestimmen Sie die Nullstellen von q1,25(x) = 0,8 - 1,25*x^2 und berechnen Sie die Querschnittsfläche und die Bauteilmasse des mittleren Bauteils.

Aufgabe a (2) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x^3 - x und die x-Achse einschließen. Die Nullstellen dürfen Abbildung 1 entnommen werden.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Im Intervall [1; 5] begrenzen der Graph von f und die Tangente t zusammen mit der x-Achse eine Fläche F. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von F.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgaben b)(3) und c)(1)-(4) zu Funktion f(x) = -5/16·x^4 + 5x^3: Geometrische Deutung eines Flächenintegrals mit Wert 0, Interpretation eines Punktes als momentane Änderungsrate, Beurteilung einer Aussage zum Maximum des Bestands sowie Bestimmung der Zunahme von x=8 bis x=10 und des Bestands nach 20 Stunden.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe g): Nullstellen von q_1,25 bestimmen und die Masse des mittleren Holzbauteils (Dichte 800 g/dm³, Breite 0,4 dm) mittels Integralrechnung berechnen.

Aufgabe a · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gegeben sind f(x) = -x² + 4x und g(x) = x. Der Graph von f schließt mit der x-Achse eine Fläche E der Größe 32/3 FE ein. (1) Schnittstellen von f und g berechnen. (2) Größe der beiden Teilflächen von E berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgaben a(6) und b(3)-b(5) zur Integralrechnung: Berechnung der mittleren Tageshöchstkonzentration im Intervall [5; 15] und deren prozentualer Abweichung zum Maximum, Bestimmung der Zeitpunkte mit Konzentration 40 pg/ml, Nachweis der gleichen Konzentration zu Beginn und Ende, Ermittlung der maximalen…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen (Teil a3), Trapezverfahren zur näherungsweisen Integralbestimmung inklusive Fehlerberechnung (Teil b), Integral von f(x) - p(x) und geometrischer Vergleich der Flächen (Teil c2, c3).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe d: Flächeninhalt zwischen oberer Randlinie f(x) und der unteren Horizontalen von 0 bis x_n bestimmen.

Aufgabe A1 - Aufgabe a(2) · GK · Haupttermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x³ - x und die x-Achse einschließen. Hinweis: Die Nullstellen dürfen der Abbildung 1 entnommen werden.

Aufgabe A2 - Aufgabe a(2) · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgabe a(2): Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen.

Aufgabe A3 - Aufgabe a(2) · GK · Haupttermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x³ - x und die x-Achse einschließen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2021

Im Intervall [1;5] begrenzen der Graph von f und die Wendetangente t zusammen mit der x-Achse eine Fläche F. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von F.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgaben b(3) und c: Geometrische Deutung des Integrals von 0 bis 10 über die Differenz f(x) - h_3,75(x) = 0. Sachzusammenhang Glyzerintank: Interpretation des Punktes (4|240), Beurteilung der Aussage zum Maximum nach 12 Stunden, Bestimmung der Zunahme zwischen 8 und 10 Stunden sowie Berechnung des Bestands nach…

Aufgabe B5 - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR 2021

Teilaufgabe g: Bestimmung der Nullstellen von q_1,25 und Berechnung der Masse des mittleren Bauteils über die Fläche zwischen f und q_1,25, Breite und Dichte.

Aufgabe a (2) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

(2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen. Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden.

Aufgabe B1 (c3) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Im Intervall [1; 5] begrenzen der Graph von f und die Tangente t zusammen mit der x-Achse eine Fläche F. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von F.

Aufgabe B2 (b3) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe b (3): Geometrische Bedeutung der Aussage erläutern, dass das Integral über die Differenz f(x) - h_3,75(x) von 0 bis 10 gleich 0 ist.

Aufgabe B2 (c) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe c: Interpretation des Punktes (4|240), Beurteilung einer Aussage über den maximalen Tankinhalt, Berechnung der Zunahme zwischen 8 und 10 Stunden sowie der Gesamtmenge nach 20 Stunden, basierend auf der Änderungsratenfunktion f.

Aufgabe B5 (g) - Integralrechnung · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe g: Nullstellen von q_1,25 bestimmen und mithilfe der Integralrechnung über die Querschnittsfläche und das Volumen die Masse des mittleren Bauteils berechnen.

Aufgabe a · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Gegeben f(x) = -x^2 + 4x und g(x) = x. (1) Berechnen Sie die Schnittstellen von f und g. (2) Berechnen Sie die jeweilige Größe der beiden Teilflächen von E, wobei E die von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche mit Inhalt 32/3 FE ist.

Aufgabe B1 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Berechnung der mittleren Tageshöchstkonzentration von Hormonen im Blut und deren prozentuale Abweichung über ein bestimmtes Integral (Teilaufgabe a.5) sowie Bestimmung von Beständen, Maximalstellen, Zeitpunkten und zugehörigem Alter aus der Änderungsrate h (Teilaufgaben b.2 bis b.5).

Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabe B2 zu Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen f und t, Näherungsverfahren mit Sehnentrapezen für das Integral, Flächeninhalt unter p und Flächenvergleich zwischen f und p.

Aufgabe B5 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Berechnung der Fläche zwischen der oberen Randlinie f und der x-Achse über das Intervall [0; x_n] mittels bestimmtem Integral.

Aufgabe A1 - Aufgabe a(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{-2}^0 g(x)\,dx$ für $g(x) = 2x^3 - 8x$.

Aufgabe A1 - Aufgabe b(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

F ist diejenige Stammfunktion von f mit f(x) = x^2 - 4x, für die F(3) = 1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Aufgabe A2 - Aufgabe a(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫_{-2}^0 g(x) dx.

Aufgabe A2 - Aufgabe b(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

F ist diejenige Stammfunktion von f mit f(x) = x^2 - 4x, für die F(3) = 1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Aufgabe A3 - Aufgabe a(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

Teilaufgabe a(2): Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫_{-2}^{0} g(x) dx.

Aufgabe A3 - Aufgabe b(2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

F ist diejenige Stammfunktion von f mit f(x) = x^2 - 4x, für die F(3) = 1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

Aufgabe B1 (Teile b, c(2)): Bestimmung von Flächeninhalten zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und der Tangente g sowie Interpretation von Integralen.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS 2021

Berechnungen von Bienenanzahlen und Zuwachsraten mittels bestimmter Integrale: a(4) Anzahl der am 13. März schlüpfenden Bienen, a(5) durchschnittliche tägliche Schlupfrate im Zeitraum [0; 232], b(2) Lösen und Interpretieren der Integralgleichung für ein 21-Tage-Fenster, c(3) Nachweis anhand von Integralen über Zu- und…

Teilaufgabe a (2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgabe a (2): Berechnen Sie den Wert des Integrals von g(x) = 2x^3 - 8x im Intervall [-2; 0].

Teilaufgabe b (2) - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgabe b (2): Funktionsgleichung der Stammfunktion F von f(x) = x^2 - 4x mit F(3) = 1 ermitteln.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgabe b und c(2) zur Integralrechnung: Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen Graph und x-Achse, Lösen der Integralgleichung für b1 und b2 sowie graphische Interpretation, Wert des Integrals von b1 bis b2 und Berechnung des Inhalts sowie des prozentualen Anteils oberhalb der x-Achse für die von Graph und…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Bienenvolk-Modell: Berechnung der Anzahl geschlüpfter Bienen (13. März, gesamter Zeitraum, Durchschnitt pro Tag), Bestimmung der Lösungen t3 und t4 der Schwarmzeit-Gleichung nach Ansatz B mit Interpretation, sowie Nachweis über den Bestand überlebender Sommerbienen am 5. Oktober.

Teil A1 - Aufgabe a(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫_{-2}^0 g(x) dx für g(x) = 2x^3 - 8x.

Teil A1 - Aufgabe b(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung der Stammfunktion F von f mit f(x)=x^2-4x, für die F(3)=1 gilt.

Teil A2 - Aufgabe a(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{-2}^{0} g(x)\,\mathrm{d}x$.

Teil A2 - Aufgabe b(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

F ist die Stammfunktion von f mit f(x) = x² - 4x, für die F(3) = 1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Teil A3 - Aufgabe a(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals von g(x) von -2 bis 0.

Teil A3 - Aufgabe b(2) · GK · Nachtermin · GTR 2021

F ist diejenige Stammfunktion von f mit f(x)=x^2-4x, für die F(3)=1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2021

Teilaufgabe b: (1) Nachweisen, dass F(x) = 2x·e^(-2x) + e^(-2x) + 0,4x eine Stammfunktion von f ist. (2) Inhalt der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Fläche berechnen. (3) Anhand der Abbildungen erläutern, dass b1 und b2 Lösungen der Gleichung ∫_0^b f(x) dx = 0 sind.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR 2021

Berechnung von Bienenanzahlen über Integrale der Zuwachs- und Sterberaten f(t) und g(t): Anzahl der schlüpfenden Bienen am 13. März, täglicher Durchschnitt bis 21. Oktober, Deutung von Integral und Schwarmzeit sowie Nachweis überlebender Bienen am 5. Oktober.

Aufgabe a - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Berechnen Sie den Wert des Integrals \int_{-2}^{0} g(x)\,dx für g(x) = 2x^3 - 8x.

Aufgabe b - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

F ist diejenige Stammfunktion von f mit f(x) = x² - 4x, für die F(3) = 1 gilt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung dieser Stammfunktion F.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Aufgabe B1 (Teilaufgaben b und c(2)): Stammfunktion F(x) von f(x) durch Ableiten nachweisen, Inhalt der von f(x) und der x-Achse eingeschlossenen Fläche berechnen, Lösungen von int_0^b f(x) dx = 0 geometrisch anhand der Flächenbilanz deuten, sowie den Inhalt der zwischen f(x) und der Tangente g eingeschlossenen Fläche…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

a(4): Berechnung des Integrals von 9 bis 10 von f(t) (Anzahl der am 13. März schlüpfenden Bienen). a(5): durchschnittliche Anzahl der pro Tag schlüpfenden Bienen von t=0 bis t=232. b(2): Bedeutung und Interpretation des Integrals ∫_t^(t+21) f(x)dx = 30000 im Sachzusammenhang. c(1): Begründung, dass d(t)=f(t)-g(t) die…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Analysis 2021

Gegeben sind die Graphen einer Funktion f und ihrer Stammfunktion F. In Teilaufgabe a soll ausschließlich mit Abbildung 2 der Wert von ∫₁⁵ f(x) dx bestimmt werden. In Teilaufgabe b soll beschrieben werden, wie dieser Wert ausschließlich mithilfe von Abbildung 1 bestimmt werden kann.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil A · Analysis 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = x³ - x und die x-Achse einschließen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Integralrechnung · GK · Teil A · Analysis 2021

Gegeben ist die Funktion f(x) = sin(x) + 1. Bestimmen Sie den Wert des Terms ∫_0^(2π) f(x) dx.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

1 e: G_f und g schließen drei Flächenstücke ein. Zeigen Sie, dass die Summe der Inhalte zweier dieser Flächenstücke ebenso groß ist wie der Inhalt des dritten.

Aufgabe 1 f - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Teilaufgabe 1 f: Geometrische Deutung des Integrals der Differenzfunktion f(x) - h_3,75(x) von 0 bis 10 im Hinblick auf die Flächeninhalte zwischen den Graphen.

Aufgabe 2 - Bestand aus Änderungsrate · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Untersuchung der Bestandsänderung eines Glyzerintanks anhand der momentanen Änderungsrate f: Interpretation des Punkts (4|240), Beurteilung der Aussage über den maximalen Tankinhalt nach 12 Stunden, grafische Bestimmung der Zunahme zwischen 8 und 10 Stunden sowie Berechnung der Gesamtmenge Glyzerin nach 20 Stunden.

Aufgabe b · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gegeben ist f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15 und deren Graph in Abbildung 2. (1) Aussage F(5) - F(1) = 0 am Graphen von f interpretieren. (2) Bestimmtes Integral von f im Intervall [0; 1] berechnen.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Berechnen Sie die Inhalte von zwei Flächen mittels Integralen: in b)(3) die Fläche F zwischen dem Graphen von f, der Tangente t im Wendepunkt W und der x-Achse im Intervall [1;5]; in c)(1) den Inhalt der grau gefärbten Fläche zwischen der y-Achse, der Parallelen g durch den Hochpunkt H(2|f(2)) und dem Graphen von f.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste anhand der Profilfunktion p(x) und der Vorgaben zur Schneehöhe.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe f: Berechnung der Querschnittsfläche zwischen oberer und unterer Randlinie durch Integration und Ermittlung der Masse des mittleren Bauteils.

Aufgabe b (2) - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Bestimmen Sie t so, dass gilt: ∫_0^t f_t(x) dx = 9 mit f_t(x) = 4x^2 - 4tx + t^2.

Aufgabe d · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Gegeben sind fa(x) = -a*x^2 + 4*a*x und ga(x) = a*x mit a > 0. Berechnen Sie die Schnittstellen sowie die Größe der von den Graphen eingeschlossenen Fläche und zeigen Sie, dass der Anteil dieser Fläche an Ea konstant ist.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgaben a (6), b (4) und c: Mittlere Konzentration im Intervall [5; 15], prozentuale Abweichung, Bestimmung des Parameters a über das Integral der Zunahme sowie Untersuchung der Stammfunktionen H_{2;C}.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Numerische Integration mittels Trapezverfahren für f_1 sowie Untersuchung des Integrals über [0; 3k] von f_k - p_k und der eingeschlossenen Flächen.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgabe f: Bestimmen der Größe der schraffierten Fläche zwischen oberer Randlinie (Graph von f), unterer Horizontalen und dem durch g beschriebenen Bogen.

Teil A1 - Aufgabe b · LK · Haupttermin · GTR 2021

b) Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = -x³ + 9x² - 23x + 15. F ist eine Stammfunktion von f. Der Graph ist in Abbildung 2 dargestellt. (1) Interpretieren Sie die Aussage F(5) - F(1) = 0 in Bezug auf den Graphen von f. (2) Berechnen Sie das Integral von 0 bis 1 über f(x) dx.

Teil A2 - Aufgabe b · LK · Haupttermin · GTR 2021

Gegeben ist f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15 und F als Stammfunktion. (1) Aussage F(5) - F(1) = 0 bezüglich des Graphen von f interpretieren. (2) Integral von 0 bis 1 über f(x) dx berechnen.

Teil A3 - Aufgabe b · LK · Haupttermin · GTR 2021

b) Gegeben ist f(x) = -x^3 + 9x^2 - 23x + 15 und der Graph von f. (1) Interpretation der Aussage F(5) - F(1) = 0 in Bezug auf den Graphen von f. (2) Berechnung des Integrals von 0 bis 1 über f(x) dx.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2021

Berechnung von Flächeninhalten mittels Integralen: Teil b)(3) Flächeninhalt F zwischen f, der Wendetangente t und der x-Achse im Intervall [1; 5]; Teil c)(1) Flächeninhalt zwischen der Parallele g durch das Maximum, dem Graphen von f und der y-Achse.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2021

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste anhand der gegebenen Profillinie p(x), der Untergrundbegrenzung und der vertikalen Schneehöhe von 60 cm für x in [5; 41,5].

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR 2021

Für a=1,25 werden Querschnittsfläche und Masse des mittleren Holzbrückenbauteils berechnet (Dichte: 800 g/dm³, Breite: 0,4 dm).

Teil A - Aufgabe b · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Gegeben ist f(x) = -x³ + 9x² - 23x + 15 und deren Graph in Abbildung 2. (1) Interpretieren Sie die Aussage F(5) - F(1) = 0 in Bezug auf den Graphen von f. (2) Berechnen Sie das Integral von 0 bis 1 über f(x) dx.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Berechnung von Flächeninhalten mittels bestimmter Integrale: in b)(3) die Fläche F zwischen dem Graphen von f, der Tangente t und der x-Achse im Intervall [1; 5]; in c)(1) die Fläche zwischen der y-Achse, der Parallelen g durch den Hochpunkt H(2|f(2)) und dem Graphen von f.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste mithilfe der Profilfunktion p(x).

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabe B5 f: Ermitteln der Masse des mittleren Holzbauteils der Brücke für a = 1,25 durch Flächenberechnung mittels Integralen, Volumenbestimmung und Dichte.

Aufgabe b(2) - Bestimmtes Integral · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Bestimmen Sie t so, dass gilt: \int_0^t f_t(x) dx = 9.

Aufgabe d · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Gegeben sind fa(x) = -a*x^2 + 4ax und ga(x) = ax mit a > 0. Die von fa mit der x-Achse eingeschlossene Fläche beträgt Ea = (32/3)a FE. (1) Größe der von fa und ga eingeschlossenen Fläche rechnerisch bestimmen. (2) Zeigen, dass der Anteil dieser Fläche an Ea konstant ist.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

b)(4) Bestimmen Sie den Wert von a, für den die Hormonkonzentration in den ersten drei Stunden um 30,42 pg/ml zunimmt. c)(1) Weisen Sie nach, dass jede Funktion H_{2;C} eine Stammfunktion zur Funktion h_2 ist. (2) Weisen Sie nach, dass für jedes C die Hormonkonzentration bei t=8 genauso hoch ist wie bei t=0. (3)…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Teilaufgaben b und c(2)-(3): Bestimmung von Näherungswerten für das Integral von f_1(x) mit der Trapezregel, Berechnung der prozentualen Abweichung vom exakten Integralwert, rechnerischer Nachweis des Flächeninhalts unter der Parabel p_k sowie Berechnung und Begründung der Flächeninhalte zwischen f_1 und p_1.

Aufgabe B5 - Integralrechnung · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Bestimmen Sie die Größe der schraffiert dargestellten Fläche zwischen der oberen Randlinie f(x), der unteren Horizontalen (x-Achse) und dem Bogen g(x).

Aufgabe b(3) - Flächeninhalt unter einer Parabel · LK · Nachtermin · CAS 2021

Teilaufgabe b(3): Inhalt der Fläche berechnen, die der Graph von f_0(x) = x^2 + x mit der x-Achse einschließt.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS 2021

Teilaufgabe d (4): Flächeninhalt zwischen f_{-2} und den beiden Tangenten h_{-2} und g_{-2} berechnen. Teilaufgabe d (5): Die Lösung der Integralgleichung integral_{z}^{z+3,5} (h_{-2}(x) - f_{-2}(x)) dx = 0 bestimmen und geometrisch interpretieren.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS 2021

Integralrechnung zur Modellierung des Bienenvolkes: a(4) Anzahl am 13. März schlüpfender Bienen, a(5) durchschnittlich pro Tag schlüpfende Bienen, b(2) Schwarmzeitgleichung und Lösungszeitpunkte t3 und t4 für Ansatz B, b(3) Vergleich der Schwarmzeiten, c(1) Begründung der Änderungsrate d(t)=f(t)-g(t), c(3) Nachweis…

Aufgabe b) (3) - Integralrechnung · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f_0(x) = x^2 + x mit der x-Achse einschließt.

Aufgabe b - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f_0(x) = x^2 + x mit der x-Achse einschließt. (Hinweis: Die Nullstellen dürfen in der Abbildung abgelesen werden.)

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2021

Aufgabe B1 (c, d4): Stammfunktion F_-2 nachweisen, Flächeninhalt zwischen f_-2 und der x-Achse im Intervall [0;1] berechnen und anhand von Abbildung 2 begründen, dass das Integral der Differenz f_-2 - t_-2 über [z; z+2] für genau ein z gleich 0 ist.

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2021

Teilaufgaben a(4), a(5), b(2) und c(3): Bestände und Mittelwerte aus Zuwachs- und Sterberaten berechnen.

Aufgabe b (3) - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgabe b (3): Flächeninhalt berechnen, den der Graph von f_0(x) = x^2 + x mit der x-Achse einschließt.

Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Teilaufgabe c: (1) Nachweis, dass F_{-2}(x) = 2x·e^(-2x) + e^(-2x) + x eine Stammfunktion von f_{-2} ist. (2) Berechnung des Flächeninhalts zwischen f_{-2} und der x-Achse im Intervall [0; 1]. Teilaufgabe d(4): Begründung anhand von Abbildung 2, dass die Integralgleichung ∫_{z}^{z+2} (f_{-2}(x) - t_{-2}(x)) dx = 0…

Aufgabe B2 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Aufgabe B2 (Integralrechnung): Bestände, Mittelwerte und Änderungsraten mithilfe von Integralen bestimmen: a)(4) Integral berechnen für geschlüpfte Bienen am 13. März, a)(5) durchschnittliche Zuwachsrate pro Tag im Intervall [0; 232], b)(2) Integralgleichung für Ansatz B aufstellen und Schwarmzeitintervall [47; 104]…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2021

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von G_f und den beiden Tangenten eingeschlossen wird.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 c - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2021

Teilaufgabe c: Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der in der zweiten Woche nach der ersten Infizierung infizierten Computer berechnet werden kann.

Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

Bestimmen Sie das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste anhand der Profilfunktion p(x), der Pistenbreite von 30 m und einer Schneehöhe von 60 cm für x > 5.

Aufgabe 1 (1 - Integralrechnung) · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Teilaufgabe 1h: Ermittlung der Masse des mittleren Brückenbauteils durch Flächenberechnung mittels bestimmter Integrale für obere und untere Randlinie sowie Multiplikation mit Breite und Holzdichte.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Teilaufgaben c und f: Bestimmung der oberen Grenze a für das Rotationsvolumen 3π bei f(x)=eˣ sowie geometrische Deutung und Skizze der Stammfunktions-Ungleichung H(b)-H(5) > 4·(b-5).

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Berechnen Sie den Flächeninhalt des im Wasser liegenden (dunkelgrau markierten) Teils des Fischs mithilfe der Integralrechnung.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Teilaufgaben 1d, 1e, 1f und 1g: F(3) - F(0) berechnen und geometrisch deuten; Existenz einer Zahl a mit Integral von 0 bis a gleich 0 begründen; Tiefpunkt aller Stammfunktionen auf der y-Achse begründen; Stammfunktion mit Tiefpunkt im Ursprung ermitteln.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Aufgabe 2d: Markieren Sie für b = 3 das von den Graphen g_b und g_{b+1} mit der x-Achse eingeschlossene Flächenstück im vierten Quadranten in Abbildung 2. Bestimmen Sie den Wert von b, für den der Flächeninhalt 1/10 · (e^3 + 1) beträgt.

Aufgabe WTR 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Teilaufgabe e: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schwanzflosse des Fischs. Teilaufgabe f: Deuten Sie den Term aus zwei Integralen mit oberer Schranke 5/4 (Wasseroberfläche) im Sachzusammenhang, formulieren Sie eine Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung der beiden Integrale.

Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Teilaufgaben 1.e bis 1.h: Stammfunktion nachweisen, Integral geometrisch deuten und berechnen sowie Eigenschaften von Stammfunktionen untersuchen.

Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und… · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Teilaufgabe 2.c: Flächenstück zwischen Graphen der Schar g_b markieren und Integralgleichung aufstellen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 a - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2020

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f(x) = sin x, der Graph von g(x) = x und die Gerade x = pi einschließen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 b - Integralrechnung · LK · Teil A · Analysis 2020

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das die Graphen von f_k und f_{k+1} einschließen, für alle Werte von k den gleichen Inhalt hat.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Analysis 2020

Für fa(x) = a*(x-2)^3 soll a) gezeigt werden, dass F(x) = 1/2*(x-2)^4 + 3 eine Stammfunktion von f2 ist, und b) mithilfe von Skizzen untersucht werden, für welche Werte von a es Stammfunktionen gibt, die nur negative Funktionswerte annehmen.

Aufgabe CAS 1 · 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Teilaufgabe d: Begründen, dass der Term 1000 - int_0^x k(z) dz den momentanen Tankinhalt in ml liefert. Teilaufgabe e: Durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch auf der 3 km langen Testfahrt bestimmen und zeigen, dass der mittlere Verbrauch d(x) = 5/2 x^3 - 19x^2 + 36x + 66 beträgt.

Aufgabe CAS 2 · 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Bedeutung und Begründung des Integralausdrucks für die Gesamthöhe der Fichten nach 60 Jahren in Metern sowie Skizzieren des Graphen der Höhenfunktion bis zum Jahr 2180.

Aufgabe CAS 2 · 3 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von 40 cm und ein Volumen von 0,17 m³ bis 1,3 m Höhe. Bei linearer Durchmesserabnahme soll der Durchmesser in 15 m Höhe berechnet werden.

Aufgabe 1 - 3 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Mithilfe des Integrals den Mittelwert der Funktion k(x) über dem Intervall [0; 8] berechnen und die prozentuale Abweichung des Maximums von diesem Durchschnittswert bestimmen.

Aufgabe 3 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Aufgabe 3, Teil 1c und 1d: Integral von f_10 berechnen und den geometrischen Flächeninhalt mit dem Betrag des Integralwerts vergleichen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Analysis 2019

Gegeben sind g(x) = x^2 - 3 und h(x) = -x^2 + 2x + 1. a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für x = -1 und x = 2 schneiden. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von g und h einschließen.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Teilaufgabe g: Berechnung des prozentualen Anteils desjenigen Teils des Kunststoffquaders, der nach dem Abschneiden der beiden Bahnkörper F und G übrig bleibt, mithilfe der Integralrechnung.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2: Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Teilaufgabe e: Begründen Sie ohne zu rechnen, dass das Integral von k(x) von 5 bis 15 gleich 1/2*(15-5)*k(15) ist. Teilaufgabe f: Begründen Sie mithilfe der Abbildung 1, dass eine reelle Zahl z mit 4 < z < 5 existiert, für die das Integral von z bis z+1 über k(x) null ergibt.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3: Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Teilaufgabe 3d: Geeignete Integrationsgrenzen für ein positives Produkt zweier Integrale der Funktion h angeben und begründen.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1: Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Berechnen Sie den Wert von k, für den der Inhalt der Fläche, die der Graph G_k von f_k mit der x-Achse einschließt, 64/3 beträgt.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Analysis 2019

Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 - 1/x^2 und die Gerade g: y = -3. a) Zeigen Sie, dass einer der Schnittpunkte die x-Koordinate 1/2 hat. b) Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade g einschließen.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Berechnen Sie den Wert von a für den Integralwert 0,7 unter dem Graphen von h und beurteilen Sie die Aussage über die aufgenommene Koffeinmenge.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Untersuchung der Integralfunktion w(q) = ∫₀^π sin(q·x) dx: Integrale mit Wert 0 für q = π, Lösen von w(q) = 1/2 mit CAS, Begründung des Abstands der Nullstellen und der Schranke 0 ≤ w(q) ≤ 2/q sowie der Endlichkeit der Lösungsanzahl von w(q) = r.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Teilaufgabe d: Berechnung des gesamten Abfluss- und Zuflussvolumens zwischen 12:00 Uhr und 18:00 Uhr. Teilaufgabe e: Bestimmung des Zeitpunkts, an dem die Beckenkapazität von 100.000 m³ überschritten worden wäre bei konstanter Abflussrate ab 13:30 Uhr.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

g) Bestimmen der Volumina zweier Rotationskörper, die durch Rotation der Flächenstücke von G_6 für 0 ≤ x ≤ 3 und 3 ≤ x ≤ 6 um die x-Achse entstehen. h) Beurteilung der Aussage, ob flächeninhaltsgleiche Flächenstücke bei Rotation um die x-Achse stets gleiche Rotationsvolumina erzeugen.

Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Teilaufgaben f, g, h und i zu f_k(x) = 8k(kx - 1)²(kx + 1)²: Berechnung des Flächeninhalts im 1. Quadranten, Skizze des Rotationszylinders, Bestimmung von k für volumengleiche Zylinder bei Achsenrotation, sowie Begründung zum Grenzvolumen bei Rotation des Flächenstücks um die y-Achse.

Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 3 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Integrale von h(x)-2 über [-1;1] und von 2-h(x) über [1;3] übereinstimmen.

Aufgabe WTR 3 · Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Aufgabe 1 b, g, i, l: Nachweis und Bestimmung einer Stammfunktion, Berechnung des Wegstreckenintegrals, Grenzwertbetrachtung für uneigentliche Fahrstrecke sowie Gleichungsansatz für Zeitpunkte.

Aufgabe WTR 3 · Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2019

Teilaufgabe d: Einen Term einer Stammfunktion von h angeben.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung:… · GK · Teil A · Analysis 2018

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der Gerade y = 1 und den Geraden x = 1 und x = 2 einschließt.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Analysis 2018

Ein Behälter enthält 2 L Flüssigkeit. Für 5 h gibt f(t) = -t*(t - 4) die Zuflussrate in L/h an. a) Begründen, dass das Volumen in den ersten 4 h durchgehend zunimmt. b) Gleichung aufstellen, um die Zeit bis zu einem Bestand von 7 L zu berechnen.

Aufgabe CAS 1 - Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Berechnen Sie mithilfe des Bogenlängenintegrals die Längen der Flugkurven für p_{1/4} und p_{2/3} vom Abwurfpunkt bis zum Boden und vergleichen Sie rechnerisch, welche Flugkurve länger ist.

Aufgabe CAS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Untersuchung des Bestands (Flughöhe) des Ballons anhand der Geschwindigkeit f(x): Bedeutung der Nullstelle bei x ≈ 3 (größte Höhe), Vergleich der Flughöhe nach 5 Minuten mit der Anfangshöhe anhand der Flächenbilanz, Begründung des Integralterms 10·∫f(z)dz + 50 und rechnerische Bestimmung des ersten Zeitpunkts für das…

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Teilaufgabe 1d: Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) von 0 bis 5. Teilaufgabe 1e: Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Integral von f(x) von 0 bis 8 kleiner ist als das Integral von 0 bis 5.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b · LK · Teil A · Analysis 2018

Gegeben ist f(x) = e^x + 1/2 x und g_c(x) = 1/2 x - c für c > 0. Die Graphen schließen mit der y-Achse und x = 1 eine Fläche von 3 ein. Berechnen Sie c.

Aufgabe CAS 1 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Für die Funktionenschar f_r mit f_r(x) = -1/r * x^2 + 4/r * x + 2: a) Skizzieren Sie den Graphen von f_6. b) Betrachten Sie das Integral von -2 bis 0 f_6(x) dx + 4*2 + Integral von 4 bis 6 f_6(x) dx. Markieren und ordnen Sie die Teilflächen zu und geben Sie den Inhalt des Flächenstücks an.

Aufgabe CAS 1 - 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Berechnen der Geschwindigkeit des Papierfliegers unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem Boden (t = 1,22 s) und Beschreiben der Bedeutung des Integrals von v(t) von 0 bis 1,22 im Sachzusammenhang.

Aufgabe CAS 1 - 3 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Ermitteln der Gesamtlänge der Flugkurve des Papierfliegers aus den beiden gekrümmten Abschnitten und dem vertikalen Absturz.

Aufgabe CAS 2 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Teilaufgabe 1e: Bestimmung der Geradengleichung x = k, die die Fläche unter dem Graphen von f im Intervall [0; 240] halbiert. Teilaufgabe 1f: Veranschaulichung der Gleichung (1/2)*u*f(u) + int_u^240 f(x) dx = (2/3) int_0^240 f(x) dx für u ≈ 217 anhand einer geeigneten Skizze.

Aufgabe CAS 2 - 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Teilaufgabe 2e: Berechnung des kontinuierlichen Mittelwerts aller Glukosewerte im Intervall [20; 100] mittels Integral und Bestimmung der prozentualen Abweichung vom arithmetischen Mittelwert der diskreten Messwerte im 10-Minuten-Abstand.

Aufgabe CAS 3 - 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Teilaufgabe g: Mittlere Abweichung von f_5 und g im Intervall [0; 15] mithilfe des gegebenen Integralausdrucks berechnen. Teilaufgabe h: Einen Gedankengang zur alternativen Formulierung der mittleren Abweichung als gewichtete Summe zweier Teilintegrale ohne Betrag beschreiben.

Aufgabe CAS 3 - 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Für eine Werbeaktion wurde der Bereich zwischen Fahrbahn (y = 12) und Drahtseil (g_0,0008448(x)) bis zu einer Höhe von 25 m über der Fahrbahn mit Planen bespannt. Bestimmen Sie den Inhalt der bespannten Fläche.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Untersuchung der Integralfunktion F_1(x) = ∫_1^x f(t) dt: ganzzahlige Nullstellen im Intervall [0;10], Nachweis einer weiteren positiven Nullstelle und Begründung für höchstens vier Nullstellen. Anschließend Bestimmung des Funktionsterms h(x) = a·sin(bx) und Begründung eines Schnittpunkts von f und h in ]0;5[.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

l) Parallelen zur s-Achse durch s = 2 und s = 10 in Abbildung 2 einzeichnen und den Inhalt des Flächenstücks berechnen, das der Graph mit der a-Achse und den beiden Parallelen einschließt.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Aufgabe 2 (Teil B): Wasservolumen im rotationssymmetrischen Behälter mit Kugel untersuchen (Rotationskörper q(x)=sqrt(5x+40)). a) Zeigen, dass sich mehr als 1500 cm³ Wasser im Behälter befinden. b) Gleichung aufstellen, um Füllhöhe vor dem Einfüllen weiterer 300 cm³ Wasser zu bestimmen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b · GK · Teil A · Analysis 2017

Zeichnen Sie in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von f, der x-Achse, der y-Achse sowie einer zur y-Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa 1,5 beträgt. Geben Sie einen Term an, mit dem der Inhalt des von Ihnen eingezeichneten Flächenstücks berechnet werden kann.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b · GK · Teil A · Analysis 2017

Gegeben ist f(x) = x^3 + 2x^2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe b · GK · Teil A · Analysis 2017

Für einen Wert von k mit k ∈ ℝ+ wird die Funktion f(x) = k·sin(x) betrachtet. Für 0 ≤ x ≤ π schließt der Graph von f mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt 1/2 ein. Bestimmen Sie den Wert von k.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Der Graph in Abbildung 2 zeigt die Änderungsrate der Temperatur. Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Änderung der Temperatur in den ersten vier Minuten und geben Sie an, ob sie zu- oder abnimmt. Skizzieren Sie für die ersten zwölf Minuten den Graphen eines möglichen Temperaturverlaufs.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Teilaufgabe 1i: Berechnung der Durchflussrate des Flusses als Produkt aus Querschnittsfläche (bestimmtes Integral von f zwischen -4,7 und -0,6) und Fließgeschwindigkeit (0,5 m/s).

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Analysis 2017

Gegeben ist f(x) = -x^3 + 12x mit Hochpunkt H(2|16). a) Zeigen Sie durch Integration, dass die Fläche zwischen Graph, x-Achse und x=2 im Intervall [0;2] den Inhalt 20 besitzt. b) Eine Gerade g geht durch H(2|16) mit negativer Steigung. Die Fläche zwischen Graph f, y-Achse und Gerade g für 0 <= x <= 2 beträgt 20.…

Aufgabe 1 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Teilaufgabe 1e: Berechnen Sie den Flächeninhalt A(p) = \int_0^p f_{0,2}(x) dx und zeigen Sie, dass dieser für beliebig große p stets kleiner als 250 ist.

Aufgabe 2 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Teilaufgaben 2f, 2g und 2h: Näherungswert für die Länge der Kiellinie über Streckenzüge zwischen B, P, T und E berechnen, Verfahren zur beliebigen Genauigkeit beschreiben, exakte Bogenlänge per Integral berechnen und die Kiellinienlänge mit den Streckenzügen vergleichen.

Aufgabe 3 - Integralrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Ermitteln Sie unter Verwendung von r(h) das Volumen der Flüssigkeit bei einer Füllhöhe von 6 cm.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 (c, d) · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Teilaufgaben c und d zu Wasserbeständen: Bestimmung des Anfangsvolumens aus V(3) = 350 m³ und Untersuchung, ob das Wasservolumen zu einem späteren Zeitpunkt wieder den Anfangswert erreicht.

Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 (b) · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Teilaufgabe 3 b: Bestimmung der benachbarten positiven Nullstelle u in Abhängigkeit von c sowie Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen Graph und x-Achse für 0 <= x <= u.

Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Aufgabe 2 zu Rotationskörpern und Modellierung einer Schale: Interpretation von Termen, Zuordnung des Graphen der Füllhöhe über Zeit, Nachweis der Kreisfläche der Wasseroberfläche A(h)=4πh, Interpretation der Integralfunktion s(x) mit maximalem Definitionsbereich sowie Berechnung der Masse der Schale.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (f) · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Deuten Sie für k > 0 das Integral von 0 bis √(3k) über (9k² - f_k(x)) dx mithilfe einer geeigneten Skizze geometrisch.

Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (d) · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Teilaufgabe d: Berechnung des Gesamtvolumens (Unterbau über Integral und Standbrett als Quader) und der Masse des Trainingsgeräts in Kilogramm.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 (a und b) · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist f(x) = sin x mit Integral von 0 bis pi/2 gleich 1. a) Wert des Integrals von -pi/2 bis pi/2 angeben. b) Ohne Verwendung einer Stammfunktion begründen, dass das Integral von 0 bis 5pi gleich 2 ist.

Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Bestimmung des prozentualen Anteils der Werbefläche (Teil der Verkleidung mit Höhe mindestens 2 m) an der Gesamtfläche der Verkleidung durch Integralrechnung.

Aufgabe 1 - Stammfunktion · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Teilaufgabe 1 f: Für ein a ∈ ℝ ist F(x) = (a - x) · e^x eine Stammfunktion von f. Bestimmen Sie den Wert von a.

Aufgabe 2 - Volumen und Integralterm · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Teilaufgabe 2a: Berechnen Sie das Volumen dieses 150 m langen Abschnitts des Damms. Teilaufgabe 2d: Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 15000 * ∫_{-4}^0 (f(x) - 0,95*f(x)) dx im Sachzusammenhang.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Analysis

Das Rechteck ABCD mit A(1|0), B(4|0), C(4|2) und D(1|2) wird durch den Graphen von f(x) = 2 - 8/x² in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben ist der Graph der Zufluss- bzw. Abflussrate eines Wassertanks (Anfangsvolumen 2 m³). a) Bestimmen des Wasservolumens nach zwei Stunden. b) Skizzieren des Graphen des Volumens über der Zeit in ein gegebenes Koordinatensystem.

Aufgabe 2 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Teilaufgabe 2 e: Berechnung der Ausdehnung der Hügel in Längsrichtung mithilfe eines Integrals.

Aufgabe 1 (Technik) - Integralrechnung: Flächen u… · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Teilaufgaben c, d, g, i, j und k: Berechnung von Querschnittsfläche, Massenströmen und geförderten Gesamtmassen durch Integration.

Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Teilaufgaben 1e und 1f: Bestimmtes Integral rechnerisch bestätigen und Integralwert ohne Stammfunktion geometrisch ermitteln.

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