Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · CAS (2022)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$ .

Teilaufgabe a)

(1)

Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nur eine Nullstelle besitzt. [2 Punkte]

(2)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [5 Punkte]

$x =$

$y =$

(3)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

$x =$

$y =$

(4)

Ermitteln Sie, an welchen Stellen des Intervalls $[0; 6]$ der Graph von $f$ jeweils die größte und die kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

Teilaufgabe b) (2)

Zu jedem $0 < u \le 6$ bilden die Punkte $O(0 \mid 0)$ , $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ ein Dreieck.

(i)

Zeichnen Sie für $u = 2$ das Dreieck $OPQ_u$ in Abbildung 1 ein. [1 Punkt]

(ii)

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen lässt. [2 Punkte]

(iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ das Dreieck $OPQ_u$ den größten Flächeninhalt hat. [2 Punkte]

(iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$ , für die der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

$u_1 \approx$

$u_2 \approx$

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ sei die Funktion $j$ mit $j(x) = 4 \cdot k^2 \cdot x \cdot e^{-k \cdot x}$ und $x \in \mathbb{R}$ definiert.

Für $k = 1{,}5$ ergibt sich aus dem Term von $j$ der Funktionsterm von $f$ .

Für $k = 2{,}6$ ergibt sich aus dem Term von $j$ der Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4 \cdot 2{,}6^2 \cdot x \cdot e^{-2{,}6 \cdot x}$ .

(1) (i)

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ haben außer dem Koordinatenursprung nur noch einen weiteren gemeinsamen Punkt $S$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$ . [2 Punkte]

$x \approx$

$y \approx$

$x =$

$y =$

(1) (ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Term von $j$ den Funktionsterm der Funktion $h$ , deren Graph in Abbildung 3 zu sehen ist.

Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]

Aufgabenstellung: Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Begründen Sie, weshalb f lediglich eine einzige Nullstelle hat.

Lösung: $f(x) = 9 \cdot x \cdot e^{-1,5x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ , da $e^{-1,5x} > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

a) (2) Rechnerischer Nachweis der lokalen Extrempunkte

Lösung: $f'(x) = \left(9 - \frac{27}{2}x\right)e^{-1,5x}$ , $f''(x) = \left(\frac{81}{4}x - 27\right)e^{-1,5x}$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$ ; $f''\left(\frac{2}{3}\right) < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt.

a) (2) x-Koordinate des Hochpunkts

Lösung: $\frac{2}{3}$ / $0{,}67$

a) (2) y-Koordinate des Hochpunkts

Lösung: $6 \cdot e^{-1}$ / $2{,}21$ / $\frac{6}{e}$

a) (3) x-Koordinate des Wendepunktes

Lösung: $\frac{4}{3}$ / $1{,}33$

a) (3) y-Koordinate des Wendepunktes

Lösung: $12 \cdot e^{-2}$ / $1{,}62$

a) (4) Stelle im Intervall [0; 6] mit der größten Steigung

Lösung: 0

a) (4) Stelle im Intervall [0; 6] mit der kleinsten Steigung

Lösung: $\frac{4}{3}$ / $1{,}33$

b) (2) (i) Zeichnen Sie für u = 2 das Dreieck OPQ_u in Abbildung 1 ein.

Lösung: Das Dreieck hat die Eckpunkte $O(0 \mid 0)$ , $P(6 \mid 0)$ auf der x-Achse und den Punkt $Q_2(2 \mid f(2))$ auf dem Graphen von $f$ .

b) (2) (ii) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ_u in Abhängigkeit von u mit der Gleichung A_OPQ_u(u) = 3 * f(u) berechnen lässt.

Lösung: Die Grundseite $\overline{OP}$ hat die Länge $6$ , die zugehörige Höhe ist $f(u)$ . Daher gilt $A(u) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f(u) = 3 \cdot f(u)$ .

b) (2) (iii) Wert von u, für den der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ_u maximal wird

Lösung: $\frac{2}{3}$ / $0{,}67$

b) (2) (iii) Begründung ohne weitere Rechnung

Lösung: Der Flächeninhalt ist proportional zu $f(u)$ ( $A = 3 \cdot f(u)$ ). Da $f$ bei $u = 2/3$ das Maximum annimmt, wird dort auch der Flächeninhalt maximal.

b) (2) (iv) Erster Wert von u mit Dreiecksfläche 4

Lösung: $0{,}20$

b) (2) (iv) Zweiter Wert von u mit Dreiecksfläche 4

Lösung: $1{,}58$

d) (1) (i) x-Koordinate des Hochpunkts von g

Lösung: $0{,}38$ / $\frac{1}{2{,}6}$ / $\frac{5}{13}$

d) (1) (i) y-Koordinate des Hochpunkts von g

Lösung: $3{,}83$ / $\frac{10{,}4}{e}$

d) (1) (i) x-Koordinate des Schnittpunkts S

Lösung: 1

d) (1) (i) y-Koordinate des Schnittpunkts S

Lösung: 2

d) (1) (ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von g in Abbildung 3.

Lösung: Skizze des Graphen von $g$ mit Hochpunkt bei ca. $(0{,}38 \mid 3{,}83)$ und Schnittpunkt $S(1 \mid 2)$ mit $f$ .

d) (2) Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses k an.

Lösung: 2 / 1,8 / 1,9 / 2,1 / 2,2

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