Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die Modellierung der oberen Randlinie von Element E3 wird eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades verwendet. Ihr Graph stimmt im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ überein (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 befindet sich dabei in einer horizontalen Entfernung von $3,6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$.

[5 Punkte]