Aufgabe A3 e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

e) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll nachfolgend als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für genau 80 Treffer von Pia auf der Dartscheibe berechnen lässt.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer auf der Dartscheibe berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass die Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.