Aufgabe A2 b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt die Graphen der Funktionen $f$ und $g$.

(1)

Geben Sie die zwei Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

$x_1 =$

und $x_2 =$

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt und von ihnen begrenzt wird.

(exakter Wert oder Dezimalzahl gerundet)