Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

Im weiteren Verlauf darf ohne Herleitung die folgende Beziehung genutzt werden: $$f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot e^{-\frac{1}{6}t}$$

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der die Funktion $f$ ihr Maximum annimmt, und geben Sie die höchste Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Kontrollwert: $t_{\text{max}} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie durch Rechnung nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert erreicht.