Aufgabe B2 - Teilaufgaben c und d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

c) (1) Zeichnen Sie die Sekante in die Abbildung ein. / d) (3) (i) zeichnen Sie den Graphen von t₁ in die Abbildung ein.

Lösung: c) (1) Sekante s(x): d) (3) (i) Tangente t₁(x):

c) (2) Weisen Sie rechnerisch nach: ∫_{-√5}^{√5} (s(x) - f(x)) dx = 0.

Lösung: $$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = \left[-\frac{5}{8}x - \frac{1}{40}x^5 + \frac{1}{4}x^3\right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} = 0$$

c) (3) Begründen Sie mithilfe dieses Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung: ∫_{-1}^{1} (f(x) - s(x)) dx = 2 · ∫_{-√5}^{-1} (s(x) - f(x)) dx.

Lösung: Die Integrale $\int_{-\sqrt{5}}^{-1}(s(x)-f(x))\,dx$ und $\int_{1}^{\sqrt{5}}(s(x)-f(x))\,dx$ entsprechen den Flächeninhalten $A_1$ und $A_3$ der beiden Flächen, die unterhalb des Graphen von $s$ und oberhalb des Graphen von $f$ liegen. Das Integral $\int_{-1}^{1}(f(x)-s(x))\,dx$ entspricht dem Flächeninhalt $A_2$ der Fläche, die oberhalb des Graphen von $s$ und unterhalb des Graphen von $f$ liegt. Da $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}(s(x)-f(x))\,dx = 0$ gilt, ist der Flächeninhalt $A_2$ so groß wie die beiden Flächeninhalte $A_1$ und $A_3$ zusammen. Da der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$-Achse verläuft, sind die beiden Flächeninhalte $A_1$ und $A_3$ gleich. Zusammen gilt dann: $$\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,dx = 2 \cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,dx$$

d) (1) Zeigen Sie: Für jedes b ∈ ℝ ist der Graph von tb die Tangente an den Graphen von f im Punkt Pb(b | f(b)).

Lösung: $$f(b) = \frac{1}{8}b^4 - \frac{3}{4}b^2$$ $$t_b(b) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)\cdot b - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2 = \frac{1}{2}b^4 - \frac{3}{2}b^2 - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2 = \frac{1}{8}b^4 - \frac{3}{4}b^2$$ Die Funktionswerte von $f$ und $t_b$ an der Stelle $b$ sind daher gleich. $$f'(b) = \frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b$$ d. h., die Steigung von $f$ an der Stelle $b$ stimmt mit der Steigung von $t_b$ überein. Zusammen gilt damit: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

d) (2) Ermitteln Sie rechnerisch in Abhängigkeit von b die Stellen, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von f und tb liegen.

Lösung: $$d_b(x) = 0 \iff -\frac{1}{8}(x-b)^2\cdot(x^2+2bx+3b^2-6) = 0$$ $$\iff (x-b)^2 = 0 \quad\lor\quad x^2+2bx+3b^2-6 = 0$$ Gemeinsame Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ liegen daher an den Stellen $$x_1 = b,$$ $$x_2 = -b - \sqrt{b^2 - (3b^2 - 6)} = -b - \sqrt{6 - 2b^2}$$ und $$x_3 = -b + \sqrt{b^2 - (3b^2 - 6)} = -b + \sqrt{6 - 2b^2}$$ (sofern diese Stellen existieren).

d) (3) (i) Geben Sie für b = 1 die Stellen x₁, x₂ und x₃ an: Stelle x₁

Lösung: 1

d) (3) (i) Geben Sie für b = 1 die Stellen x₁, x₂ und x₃ an: Stelle x₂

Lösung: -3

d) (3) (i) Geben Sie für b = 1 die Stellen x₁, x₂ und x₃ an: Stelle x₃

Lösung: 1

d) (3) (ii) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und t₁ eingeschlossen wird.

Lösung: 6,4 / 6.4

d) (4) (i) Ermitteln Sie diese Werte von b, für die die Graphen der Funktionen f und tb eine Fläche einschließen, die aus nur einem Teilstück besteht.

Lösung: -√3, -1, √3 / -\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}

d) (4) (ii) Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionen f und tb für b < -√3 und für b > √3 keine Fläche einschließen.

Lösung: Für $b < -\sqrt{3}$ und $b > \sqrt{3}$ gilt: $6 - 2b^2 < 0$. Daher liegt dann nur an der Stelle $x_1$ ein gemeinsamer Punkt der Graphen von $f$ und $t_b$ vor. Diese beiden Graphen schließen daher keine Fläche ein.

d) (5) Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

Lösung: Für $b = \frac{3}{2}$ gilt: $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{-(\sqrt{6}+3)}{2} \approx -2{,}72$, $x_3 = \frac{\sqrt{6}-3}{2} \approx -0{,}28$. $$\int_{\frac{-(\sqrt{6}+3)}{2}}^{\frac{\sqrt{6}-3}{2}} (t_{\frac{3}{2}}(x) - f(x))\,dx = \frac{93\cdot\sqrt{6}}{80} \approx 2{,}85$$ $$\int_{\frac{\sqrt{6}-3}{2}}^{\frac{3}{2}} (f(x) - t_{\frac{3}{2}}(x))\,dx = \frac{93\cdot\sqrt{6}}{160} - \frac{351}{320} \approx 0{,}33$$ $$2{,}85 : 0{,}33 \approx 8{,}64 > 8$$ (bei Verwendung ungerundeter Werte ergibt sich ein Quotient von ca. $8{,}71$). Die Behauptung ist somit zutreffend.

d) (6) Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung dieses Wertes an.

Lösung: $$\int_{x_2}^{x_3} (f(x) - t_b(x))\,dx = \int_{x_3}^{x_1} (t_b(x) - f(x))\,dx$$