Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \mid -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Funktionsgleichung von $f$: $$f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

b)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0|0)$, $Q_u(u|0)$ und $R_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:$$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3.$$

(2)

Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$.

FE

d)

(1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}\cdot b^3 - \frac{3}{2}\cdot b\right)\cdot x - \frac{3}{8}\cdot b^4 + \frac{3}{4}\cdot b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b|f(b))$ dar.