Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

b) Der Ausdruck $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$.

(1)

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

(2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Startzeitpunkt $u$ untersucht werden.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\ ^\circ\text{C}$ beträgt.

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