Aufgabe 1 (WTR 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x⋅e−12x2+12f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

b)

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion f′f' von ff.

(zur Kontrolle: f′(x)=(1−x2)⋅e−12x2+12f'(x) = (1 - x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}})

c)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von ff. Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (WTR 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Lösung von AprenAI (nicht die offizielle)

b Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion f' von f.

Lösung: f′(x)=(1−x2)⋅e−12x2+12f'(x) = (1 - x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}

c Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von f.

Lösung: ff ist für −1<x<1-1 < x < 1 streng monoton zunehmend und für x<−1x < -1 sowie x>1x > 1 streng monoton abnehmend.

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