Aufgabe B2 - Teilaufgabe d (Integralrechnung) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f$ ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$beschreibt die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = t_b(x)$. Mit einem Computeralgebrasystem erhält man dafür die Lösungen $x_1$, $x_2$ und $x_3$:$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}.$$

d) (1)

Zeigen Sie: Der Graph von $t_b$ mit $$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2,\quad x \in \mathbb{R},$$ ist für jedes $b \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

d) (2) (i)

Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ an und zeichnen Sie den Graphen von $t_1$ in die Abbildung ein.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

d) (2) (ii)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen.

d) (2) (iii)

Ermitteln Sie rechnerisch den größten Abstand in y-Richtung, den die Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3;1]$ zueinander haben.

d) (3) (i)

Außer für $b = 1$ gibt es drei weitere Werte von $b$, bei denen die Graphen von $f$ und $t_b$ eine Fläche begrenzen, die nur aus einem Teilstück besteht. Ermitteln Sie diese Werte.

d) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ und für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

d) (4)

Die Graphen von $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ begrenzen eine Fläche aus zwei Teilstücken. Eine Schülerin meint, die größere der beiden Teilflächen sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere. Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

d) (5)

Im Bereich $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Werte $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe oben): $x_2 < x_3 < x_1$. Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$. [Diese Aussagen können Sie ohne Nachweis verwenden.] Es gibt genau einen Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$, für den diese beiden Teilstücke den gleichen Flächeninhalt besitzen. Geben Sie einen Ansatz an, mit dem sich dieser Wert berechnen lässt.