Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) Der in der Abbildung gezeigte Körper $ABCDEF$ stellt ein dreiseitiges Prisma dar.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B$ an.

Zu jedem $a \ge 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis $2:1$ aufteilen.

Geben Sie einen Wert $a \ge 0$ an, für den diese Bedingung an $G_a$ erfüllt ist.

(4)

Es sei $a = 246$, sodass $G_a = D$ gilt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $DEF$ sowie das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ verkürzt. Dadurch wird vom Prisma $ABCDEF$ eine Pyramide mit der Grundfläche $DEF$ abgetrennt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ einschließen.

°