Aufgabe 2 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=a⋅sin⁡(b⋅x)+1s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + 1. Die Punkte E1(−2∣−1)E_1(-2 \mid -1) und E2(2∣3)E_2(2 \mid 3) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von ss.

Die Punkte des Graphen von ss mit der y-Koordinate 11 sind die Wendepunkte des Graphen.

c

Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von ss eine ganzzahlige x-Koordinate hat und dass der Graph von ss in jedem seiner Wendepunkte entweder die Steigung −π2-\frac{\pi}{2} oder die Steigung +π2+\frac{\pi}{2} hat.

d

Für jeden Wendepunkt des Graphen von ss wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt P(2022∣2022)P(2022|2022) verläuft. Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von ss ist.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von s eine ganzzahlige x-Koordinate hat und dass der Graph von s in jedem seiner Wendepunkte entweder die Steigung -pi/2 oder die Steigung +pi/2 hat.

Lösung: s(x) = 1 <=> sin(pi/4 * x) = 0 <=> x = 4k, k in Z. Damit sind alle x-Koordinaten ganzzahlig. s'(x) = 2 * pi/4 * cos(pi/4 * x) = pi/2 * cos(k * pi) liefert für alle k in Z entweder -pi/2 oder +pi/2.

d Für jeden Wendepunkt des Graphen von s wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt P(2022|2022) verläuft. Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von s ist.

Lösung: Keine der Geraden ist Tangente. Die Steigung der Geraden durch (4k|1) und P(2022|2022) ist m = 2021 / (2022 - 4k) und somit eine rationale Zahl. Die Tangentensteigung +-pi/2 ist irrational, weshalb Gleichheit für kein k in Z möglich ist.

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