Aufgabe A3 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktionenschar $f_k$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},\ k \in \mathbb{R},\ k \ne 0.$$

(1)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: $f_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}$.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie verwenden: $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen.