Aufgabe WTR 2 - 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}$. Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

2 Ein Tauchroboter bewegt sich in vertikaler Richtung. Diese Bewegung lässt sich für $0 \leq t \leq 30$ modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto \frac{9}{40}t^3 - \frac{27}{2}t^2 + \frac{405}{2}t$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $h(t)$ der Abstand des Roboters von der Wasseroberfläche in Metern. Die Abbildung stellt die Bewegung des Roboters dar.

a)

Weisen Sie nach, dass der Roboter zum Zeitpunkt 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn den größten Abstand zur Wasseroberfläche hat und dass dieser Abstand 900 Meter beträgt.

b)

Berechnen Sie, wie viele Meter der Roboter innerhalb der ersten 15 Minuten nach Beobachtungsbeginn zurücklegt.

c)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts des Graphen von $h$ im Hinblick auf die Bewegung des Roboters.

d)

Betrachtet wird die Phase, in der der Roboter seinen Abstand zur Wasseroberfläche vergrößert. Berechnen Sie den Zeitraum innerhalb dieser Phase, in dem die Geschwindigkeit des Roboters größer als 29,7 Meter pro Minute ist.

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