Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

(1) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes maximal ist

Lösung: $2{,}5$

(1) Maximum der momentanen Änderungsrate des Absatzes

Lösung: $3678{,}8$ / $3679$ / $3680$

(2) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f$ im Bereich $0 \leq x \leq 18$ und zeichnen Sie alle Punkte ein, bei denen die momentane Änderungsrate $1000$ Stück pro Monat beträgt.

Lösung: Der Graph startet im Ursprung $(0|0)$, steigt bis zum Hochpunkt $(2{,}5 | 3679)$ an und fällt danach monoton ab. Die beiden Punkte mit $f(x) = 1000$ liegen bei ungefähr $x \approx 0{,}36$ und $x \approx 8{,}94$.

(3) Erläutern Sie das Vorgehen bei diesen Berechnungen. Begründen Sie Ihre Angabe, ohne weiter zu rechnen.

Lösung: Die gesuchten Zeitpunkte sind durch die globalen Extremstellen der Ableitungsfunktion $f'$ im Intervall $[0; 18]$ gegeben, bei denen es sich um lokale Extremstellen oder Randstellen handeln kann. Mit der Berechnung werden zunächst die lokalen Extremstellen von $f'$ ermittelt: $x = 5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $f''$ und damit die einzige mögliche lokale Extremstelle von $f'$. Da zusätzlich $f'''(5) > 0$ gilt, ist $x = 5$ eine lokale Minimalstelle von $f'$. $x = 5$ ist als einzige lokale Extremstelle von $f'$ auch die globale Minimalstelle von $f'$. Da außerdem der Graph von $f$ an der Stelle $x = 5$ fällt, gilt: $5$ Monate nach der Produkteinführung nimmt die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ab. Da der Graph von $f$ an der Randstelle $x = 0$ steigt und an der Randstelle $x = 18$ fällt, gilt $f'(0) > 0$ und $f'(18) < 0$. Daher ist $x = 0$ die globale Maximalstelle von $f'$. Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt zum Zeitpunkt der Produkteinführung am stärksten zu.

(3) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate am stärksten wächst

Lösung: $0$

(3) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate am stärksten fällt

Lösung: $5$