Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes lässt sich im Modell durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit

f(x)=4000⋅x⋅e−0,4xf(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x} darstellen. Hierbei steht xx für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und f(x)f(x) für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte die Firma auch eine Smartwatch am Markt ein. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf R\mathbb{R} definierte Funktion gg mit

g(x)=1600⋅x2⋅e−0,4xg(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x} modelliert.

a)

(1) Zeigen Sie, dass gilt: f′(x)=4000⋅(1−0,4⋅x)⋅e−0,4xf'(x) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate des Absatzes maximal ist, und geben Sie diesen maximalen Wert an.

(3) Zeichnen Sie den Graphen von ff im Bereich 0≤x≤180 \leq x \leq 18.

(4) Zwischen der Produkteinführung und dem Ende des 18. Monats danach gibt es einen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ansteigt, und einen, an dem sie am stärksten fällt. Um diese beiden Zeitpunkte zu ermitteln, wurde Folgendes berechnet:

f′′(x)=0⇔x=5f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5

f′′′(5)>0f'''(5) > 0

Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe ohne zusätzliche Rechnung.

Aufgabenstellung: Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Zeigen Sie, dass gilt: f′(x)=4000⋅(1−0,4⋅x)⋅e−0,4xf'(x) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}.

Lösung: f′(x)=4000⋅(1⋅e−0,4x+x⋅(−0,4)⋅e−0,4x)=4000⋅(1−0,4⋅x)⋅e−0,4xf'(x) = 4000 \cdot (1 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x} + x \cdot (-0{,}4) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}

(2) Rechenweg / Begründung (notwendige und hinreichende Bedingung):

Lösung: Notwendige Bedingung f′(x)=0⇔1−0,4x=0⇔x=2,5f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 0{,}4x = 0 \Leftrightarrow x = 2{,}5. Hinreichende Bedingung z. B. Vorzeichenwechselkriterium von ++ nach −- bei x=2,5x = 2{,}5.

(2) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate maximal ist:

Lösung: 2,52{,}5 Monate

(2) Größter Wert der momentanen Änderungsrate:

Lösung: 3678,83678{,}8 Stück/Monat / 36793679 Stück/Monat / 36803680 Stück/Monat

(3) Zeichnen Sie den Graphen von ff im Bereich 0≤x≤180 \leq x \leq 18.

Lösung: Der Graph startet im Ursprung (0∣0)(0|0), steigt bis zum Hochpunkt (2,5∣3679)(2{,}5 | 3679) steil an, fällt danach flacher ab, besitzt bei x=5x = 5 eine Wendestelle mit dem Wert f(5)≈2707f(5) \approx 2707 und nähert sich für x→18x \to 18 asymptotisch der x-Achse (f(18)≈53,7f(18) \approx 53{,}7).

(4) Erläutern Sie diese Berechnungen (f′′(x)=0⇔x=5f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5, f′′′(5)>0f'''(5) > 0).

Lösung: Mit f′′(x)=0f''(x) = 0 und f′′′(5)>0f'''(5) > 0 wird die lokale Minimalstelle der Ableitungsfunktion f′f' (und damit die Stelle stärkster Abnahme von ff) bestimmt.

(4) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten abnimmt:

Lösung: 55 Monate

(4) Begründung für den Zeitpunkt der stärksten Abnahme:

Lösung: x=5x = 5 ist die einzige lokale Extremstelle von f′f' und ein lokales Minimum. Da der Graph von ff bei x=5x = 5 fällt, nimmt die Änderungsrate hier am stärksten ab.

(4) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt:

Lösung: 00 Monate

(4) Begründung für den Zeitpunkt der stärksten Zunahme:

Lösung: Da der Graph von ff an der Randstelle x=0x = 0 steigt und an der Randstelle x=18x = 18 fällt, gilt f′(0)>0f'(0) > 0 und f′(18)<0f'(18) < 0. Daher ist x=0x = 0 die globale Maximalstelle von f′f'.

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