Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

(2) Ermitteln Sie durch Rechnung, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Abschnitt E2 ist.

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4) Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens 0,85 betragen. Zeigen Sie, dass Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

d)

Ein Übergang gilt als ruckfrei, wenn an der Übergangsstelle nicht nur die Funktionswerte und die ersten Ableitungen, sondern auch die zweiten Ableitungen gleich sind.

Prüfen Sie, ob der Übergang von E2 zu E3 ruckfrei ist.

Ja

Nein

f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt wie E2 entstehen, dessen Streckenverlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h$ verwendet mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1) Begründen Sie, dass $h'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den die Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.