Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

d)

Ist $g'$ die erste Ableitungsfunktion einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$, so gilt

$$\int_u^v g'(x)\cdot e^{g(x)}\mathrm{d}x = \left[e^{g(x)}\right]_u^v\text{.}$$

Berechnen Sie damit den Wert des Terms $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$.

e)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $w > 2022$ gilt

$$F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)\mathrm{d}x\text{.}$$