Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

(2)

Ermitteln Sie rechnerisch, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 zueinander haben.

(3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4)

Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

Der Abschnitt E3 wird zuletzt mit der Länge $d = 7{,}5\text{ [m]}$ gebaut.

Um die Fahrten der Skater auf E3 aufzunehmen, soll eine Kamera in einer Höhe von $5\text{ m}$ über der unteren Randlinie von E3 angebracht werden. Vereinfachend wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben.

(1)

Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, bei dem $K$ von den Punkten $B$ und $C$ denselben Abstand hat.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt $K(8{,}49 \mid 5)$ und dem Graphen von $g$.

Teilaufgabe f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h_u$ verwendet mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.