Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, wie hoch die Materialkosten für das Element E2 sind.

Legen Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 die Gleichung $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$ zugrunde.

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten in Höhe von $10\,800\text{ €}$ eingeplant.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 berechnen lässt, bei der die Materialkosten $10\,800\text{ €}$ ergeben.

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii) Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat.

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen. Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 berechnen lässt, bei der die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ ergeben. [Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]