Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für jedes $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ definiert.

Hintergrund (Teil b)

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Hintergrund (Teil c)

Die Gleichung $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

Abbildung 2

Zugelassene Hilfsmittel

GTR (Grafikfähiger Taschenrechner)

Mathematische Formelsammlung

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Teilaufgabe b)

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen.

Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$$modelliert werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass auf der Geraden $g$ ein Punkt liegt, der zur dreieckigen Dachfläche $GEF$ gehört.

Teilaufgabe c)

(1)

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben.

Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Bestimmen Sie den Wert von $b$, für den $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

[Zur Kontrolle: $b = -584$.]