Aufgabe 1 (MMS 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = -\frac{1}{640}x^4 + \frac{1}{40}x^3 - \frac{9}{80}x^2 + \frac{1}{5}x + 3$$

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs kann zwischen den Punkten $\text{A}(x_\text{A} \mid 2{,}5)$ und $\text{B}(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{5}x + 3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $\text{B}$ und $\text{C}(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

a

Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12 \mid 0)$ verläuft. Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(2 \mid f(2))$ an und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem. [3 BE]

b

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ kann durch eine Gleichung der Form $f'(x) = a \cdot (x - b) \cdot (x - c)^2$ dargestellt werden. Ermitteln Sie die passenden Werte von $a$, $b$ und $c$. [3 BE]

$a =$

$b =$

$c =$

c

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen mithilfe des Graphen von $f'$: [4 BE]

I Die Funktion $f$ ist monoton.

II Die Tangenten an den Graphen von $f$ in den Punkten $(0 \mid f(0))$ und $(6 \mid f(6))$ sind parallel.

e

Zeigen Sie, dass der Carport $11{,}50\text{ m}$ lang ist, und bestimmen Sie die Höhe des Carports an seiner höchsten Stelle. Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von $7{,}05\text{ m}$ und einer Höhe von $3{,}10\text{ m}$ vollständig im Carport untergestellt werden kann. [6 BE]

f

Bestimmen Sie für den gesamten Teil des Dachs, von dem Wasser über den hinteren Bereich des Carports hinweg abläuft, die durchschnittliche Neigung in Längsrichtung in Prozent. [3 BE]

%

h

Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von $60^\circ$ ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch $D(6 \mid 0)$ und $E(8 \mid f(8))$ dargestellt.

Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein. [2 BE]

i

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. [5 BE]