Aufgaben zu Matrizen und Übergangsprozesse

93 Aufgaben zu Matrizen und Übergangsprozesse aus dem Abitur NRW Mathematik (2017-2026). Mit ausführlicher Lösung und automatischer Korrektur.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2026

Untersuchung der Kundenverteilung auf drei Gruppen A, B, C mit einer Übergangsmatrix P. Teil a: Übergangsdiagramm zeichnen; Teil b: Verteilung nach einem Jahr berechnen; Teil c: Begründen, dass ein gegebener Vektor nicht die Verteilung nach einem Jahr sein kann; Teil d: Abnahme um 40% begründen und Zeitpunkt…

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2026

Populationsmodell einer Käferart anhand von Eiern, Larven und ausgewachsenen Käfern mit einer Übergangsmatrix P untersuchen: Übergangsdiagramm zeichnen, Population nach einem Monat berechnen, Vektorausdrücke für Bestandsveränderungen interpretieren, Eigenwertgleichung r und K_0 bestimmen sowie Wachstumsverlauf Kurve…

Aufgabengruppe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Untersuchung der Entwicklung einer Insektenpopulation mit drei Stadien anhand der Übergangsmatrix M und eines Übergangsdiagramms: Begründung des Fehlers im Übergangsdiagramm und Bestimmung des Parameters r, sodass nach drei Tagen der Anfangszustand wieder erreicht wird.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Gegeben ist die 3x3-Matrix A und der Vektor v_a = (a, 1, 0)^T mit A·v_a = 4·v_a. a) Bestimmen Sie a. b) Für reelle Zahlen c, b gilt A^(-1)·(b·v_a) = c·v_a. Bestimmen Sie b in Abhängigkeit von c, ohne A^(-1) zu berechnen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Für jede Matrix M = ((a, b), (c, d)) ist M^T die transponierte Matrix. Eine Matrix heißt orthogonal, wenn M · M^T = E. a) Geben Sie eine orthogonale Matrix mit a, b, c, d aus {0; 1} an, die ungleich der Einheitsmatrix ist. b) Beurteilen Sie die Aussage: Es gibt orthogonale Matrizen der Form M mit a = d = 1/3 *…

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2026

Mehrstufiger Produktionsprozess von Rohstoffen über Zwischenprodukte zu Endprodukten. Bestimmung des Bedarfs an Zwischenprodukten und Rohstoff R1 für je 1 ME der Endprodukte, Deutung der Gesamtbedarfsmatrix N, Berechnung der maximalen Fertigungsmenge von E2 bei vorgegebenem Rohstoffvorrat (1298 ME) und Verhältnis e2 =…

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2026

2 Ein Unternehmen fertigt aus Rohstoffen R1, R2, R3 Zwischenprodukte Z1, Z2, Z3 und daraus Endprodukte E1, E2. a) Bestimmen der benötigten Mengen der Zwischenprodukte und von Rohstoff R1 für e1 = 1 und e2 = 1. b) Bedeutung der berechneten Gesamtbedarfsmatrix im Sachzusammenhang. c) Maximal fertigbare Menge von E2 bei…

Aufgabengruppe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2025

Untersuchen Sie für die Matrix M und den Vektor v, ob es Werte von a und b gibt, sodass M · v = v gilt.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2025

Untersuchung der Entwicklung einer Säugetierpopulation anhand einer Übergangsmatrix: Bedeutung eines Eintrags im Sachkontext beschreiben, eine Aussage über die Anzahl erwachsener Tiere beurteilen und den neuen Eintrag für einen stationären Zustand bestimmen.

Aufgabengruppe 2 - 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2025

Betrachtet werden die Matrizen A = ((0, 1), (0, 0)) und X = ((a, b), (c, d)) mit a, b, c, d in R. Untersuchen Sie, welche Bedingungen a, b, c und d erfüllen müssen, damit die Gleichung (X+A)*(X+A) = X^2 + 2*A*X + A^2 gilt.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2025

Zweistufiger Produktionsprozess mit vier Rohstoffen R1 bis R4, drei Zwischenprodukten Z1 bis Z3 und drei Endprodukten E1 bis E3. a) Berechnung der benötigten Menge an R2 für einen Auftrag von je 10 ME E1, E2, E3. b) Erläuterung und Lösung einer Matrixgleichung für die Fertigungskosten z. c) Ermittlung der Anzahl ME…

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2025

Übergangsprozess bei 3000 Kunden und drei Pay-TV-Abonnements (K, P, S). a) Bedeutung der Matrixeinträge 0 und 0,8. b) Stationäre Kundenverteilung berechnen und prüfen, ob mehr als 60 % der Kunden P haben. c) Mit der inversen Matrix die größtmögliche Kundenzahl mit Abo K im vorherigen Quartal bestimmen, wenn im…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2024

Ein Produktionsprozess verarbeitet die Rohstoffe R_1 und R_2 zu Endprodukten E_1 und E_2 gemäß einer Verflechtungsmatrix. a) Stellen Sie den Prozess in einem Verflechtungsdiagramm dar. b) Es werden doppelt so viele ME von E_1 wie von E_2 produziert und viermal so viele ME von R_1 wie von E_1 eingesetzt. Ermitteln Sie…

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2024

Bei einer Insektenart mit vier Entwicklungsstadien (Eier, zwei Larvenstadien, ausgewachsene Insekten) wird die Populationsentwicklung durch eine Übergangsmatrix beschrieben. Es sollen die Verlustrate eines Larvenstadiums angegeben, die Populationsgröße nach vier Wochen rechnerisch gezeigt, ein Modellterm für die…

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2024

Modellierung der E-Scooter-Verteilung mit Übergangsmatrix M, Übergangsdiagramm, Ausrechnen von Komponenten, Extremwerte der Bereichsgrößen, Vektorauswahl für Wartungsszenario sowie geometrische Beurteilungen (Beträge und Winkel).

Aufgabengruppe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2024

Ein zweistufiger Produktionsprozess wird beschrieben durch r = [[5, 4], [12, 10]] * e und z = [[2, 1], [1, 1], [2, 2]] * e. In Teilaufgabe a werden die benötigten Rohstoffmengen für 2 ME des ersten und 2 ME des zweiten Endprodukts bestimmt. In Teilaufgabe b wird aus textuellen Angaben und dem Matrizenzusammenhang r =…

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2024

Multiplikation mit einer Permutationsmatrix M von links und rechts beschreiben sowie Parameter a, b, c, d so bestimmen, dass M * A * M = A gilt.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2024

Aufgabe 1: Modellierung einer Tierpopulation (Junge, Mittelalte, Alte Tiere) mittels Übergangsmatrix P bzw. Q. a) Übergangsdiagramm zeichnen. b) Wert von k berechnen, wenn nach 2 Jahren aus 200 Jungtieren 66 Jungtiere werden. c) Zeigen, dass die Komponentensumme von Q·u das 0,9-Fache der Komponentensumme von u ist. d)…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2023

Gegeben ist die Matrix M. a) Entscheiden und begründen, ob es einen Vektor u gibt mit M*u = (3, 2, 1)^T. b) Untersuchen, für welche reellen Werte von a, b und c (c ≠ 0) die Vektoren v = M*(a, b, c)^T - (a, b, c)^T und w = (3, 2, 1)^T kollinear sind.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2023

Gegeben ist die Matrix M = ((2, 0), (3, 1)). Bestimmen Sie alle Vektoren (a, b) != (0, 0) mit a, b in R, für die eine reelle Zahl t existiert mit M * (a, b) = t * (a, b).

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2023

Übergangsprozess zur Verteilung von Handwagen in einem Tierpark mit Matrizenrechnung: a) Übergangsdiagramm erstellen, b) Anzahl der Wagen an Station A an einem Samstagmorgen berechnen, c) Alle ganzzahligen Werte für x bestimmen, die die Ungleichungen bezüglich Wagenanzahlen erfüllen.

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2023

Aus vier Rohstoffen werden drei Zwischenprodukte und daraus zwei Getränke M1 und M2 hergestellt. In Teilaufgabe a ist x = 0,26 nachzuweisen und y = 0 zu begründen. In Teilaufgabe b sind die maximal herstellbaren Mengeneinheiten von M1 und M2 bei gegebenen Rohstoffkosten und Budgetgrenze (3500 GE) zu berechnen. In…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2023

Übergangsprozess eines Brettspiels analysieren: Mögliche Spielregel für Feld B formulieren, zweite Zeile der Übergangsmatrix M angeben und Bedeutung der Einträge der Grenzmatrix im Sachzusammenhang beschreiben.

Aufgabengruppe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2023

Populationsentwicklung von Marienkäfern anhand von Potenzen der inversen Übergangsmatrix M^-1 untersuchen: a) Wert von a aus (M^-1)^2 bestimmen. b) Populationsentwicklung mit fortschreitender Zeit in Abhängigkeit von c beschreiben.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2023

Modellierung eines Computerspiels mit Münzen (1er, 2er, 8er) und Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms, Beurteilung einer Aussage zur Gesamtzahl der Münzen, Untersuchung vorgegebener Münzzahlen in drei Stufen, Formulierung einer Aufgabenstellung zu einer Matrizenrechnung und Ermittlung des Anteils…

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2023

Mehrstufiger Produktionsprozess mit Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten über Matrizen modelliert: Wert und Bedeutung von s bestimmen; Bedarf an R3 berechnen; Nicht-Invertierbarkeit von C deuten; Zwischenprodukt-Bedarf für E4 berechnen; linearen Verlauf des R2-Bedarfs grafisch darstellen und erläutern.

Aufgabengruppe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Gegeben ist ein Übergangsgraph für die Kundenwechsel zwischen den drei Stromanbietern A, B und C von einem Quartal zum nächsten. a) Bestimmen Sie, welche der beiden Darstellungen I und II für passende Werte von x und y mit der Übergangsmatrix M übereinstimmt, und geben Sie die Werte für x und y an. b) Berechnen Sie…

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Eine Matrix A heißt selbstinvers, wenn A^-1 = A gilt. Für M = ((a, b), (c, -a)) mit a,b,c in R ist zu zeigen, dass b·c <= 1 gilt, wenn M selbstinvers ist. Zudem sind für a = 5 passende Werte für b und c anzugeben.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2022

Übergangsprozess eines Transportunternehmens mit 150 Fahrzeugen an 3 Standorten A, B und C mit Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms und Parameter p, q; Berechnung des prozentualen Anteils am Standort A nach einem Tag; Deutung eines Terms ohne Diagonalelemente; Berechnung der Matrixeinträge r und s in…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Modellierung der Entwicklung einer Insektenpopulation mit Übergangsmatrizen: Interpretation eines Eintrags der Matrix M, Berechnung der Anfangsanzahl der Larven und Aufstellen der Übergangsmatrix N bei veränderter Reihenfolge der Zustände.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Gegeben ist die Matrix M = ((1, 3), (1, -1)). a) Bestimmen Sie den Wert von a für M^2 * u = a * u. b) Bestimmen Sie alle Vektoren v mit M * v = 2 * v.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Eigenschaften stochastischer Matrizen: a) Fixvektor v ungleich 0 zur stochastischen Matrix M bestimmen, für den M·v = v gilt. b) Nachweisen, dass für eine stochastische 2x2-Matrix N und einen Vektor u mit Komponentensumme 5 auch N·u die Komponentensumme 5 hat.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2022

Modellierung eines Fahrrad-Leihsystems mit 2400 Fahrrädern in drei Bereichen A, B, C mittels Übergangsmatrix M und Eigenvektorentwicklung: a) Interpretation von 0,8 und Spaltensumme 1 b) Berechnung der Anzahl im Bereich A am Freitag ausgehend von Gleichverteilung am Montag c) Nachweis der Formel v_n = s * 0,7^n * y +…

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2022

Modellierung eines Farbwechselprozesses einer Lampen-Werbefläche mittels Übergangsmatrizen, Diagramm, Matrixpotenzen und Grenzwertbetrachtungen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2021

Zweistufiger Produktionsprozess: Bestimmung der Übergangsmatrix M zwischen Zwischen- und Endprodukten sowie Berechnung der produzierten Mengeneinheiten der Endprodukte aus dem Rohstoffverbrauch mittels linearem Gleichungssystem.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2021

Übergangsprozess dreier Taxiunternehmen A, B und C: Erstellung eines Übergangsdiagramms, Bestimmung einer stationären Verteilung mit 7000 Kunden, Intervallbestimmung für die Kunden von B im Folgemonat, Rückrechnung der Verteilung im Vormonat mittels inverser Matrix und prozentualer Kundenverlust von C, sowie Analyse…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2021

Bestimmen Sie alle Werte von k in R \ {0}, für die die Matrix M_k = ((1, 0), (-k, k)) und ihre inverse Matrix die gleiche Spur haben.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2021

Zweistufiger Produktionsprozess: Gegeben ist die Bedarfsmatrix für Rohstoffe zu Endprodukten und der Verflechtungsgraph. a) Ausgehend von r1=8, r2=28 und r3 Rohstoffen werden Endprodukte hergestellt, ohne dass Reste bleiben; r3 bestimmen. b) Die Übergangswerte a und b im Verflechtungsgraphen bestimmen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2021

Gegeben ist die Matrix A = ((1, 2), (0, 1)). Für eine Matrix B gilt A · B = B · A. Ermitteln Sie alle Matrizen, die für B infrage kommen, d. h. die angegebene Bedingung erfüllen.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2021

Modellierung des Wanderverhaltens von Wildkatzen zwischen Wäldern mithilfe von Übergangsmatrizen, Grenzverteilung und Prozessen mit konstantem Zustrom.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2021

Untersuchung der Altersstruktur einer Wildkatzenpopulation anhand der Übergangsmatrix P. a) Zeigen, dass das Modell für die Entwicklung vor Beginn der Untersuchung nicht geeignet ist. b) Zu einer vorgegebenen mathematischen Lösung eine passende Aufgabenstellung formulieren und die Bedeutung der Zahl 1,1 beschreiben.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2021

Modellierung von Stromtarifwechseln durch Kundenverteilungen im 3D-Koordinatensystem, Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Gegeben ist die Vertauschungsmatrix M und der Vektor v = (1, 2, 3)^T. a) Berechnen Sie den aus der Multiplikation M * v resultierenden Vektor. b) Geben Sie die inverse Matrix zu M an. c) Beschreiben Sie den Aufbau aller 3x3-Vertauschungsmatrizen N, die genau zwei Einträge von v vertauschen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Gegeben ist die Matrix A. a) Bestimmen Sie die Parameter a, b, c der inversen Matrix A⁻¹. b) Ermitteln Sie einen nicht-trivialen Vektor v mit A · v = v.

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Gegeben ist die Matrix M mit den Parametern a, b, c, d. Bestimmen Sie alle ganzzahligen Zahlentupel (a;b;c;d), für die M * M gleich der gegebenen Matrix ist.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2020

Untersuchung der Populationsdynamik weiblicher Säugetiere anhand von Übergangsmatrizen: Bedeutung der Matrixeinträge, Rückrechnung und Invertierbarkeit, Eigenwert- und Eigenvektorproblem für stationäres/proportionales Wachstum, Produkt zweier saisonaler Matrizen M und N und Rekonstruktion früherer Populationen.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2020

Zweistufiger Produktionsprozess mit Rohstoffen R1, R2, R3, Zwischenprodukten Z1, Z2 und Endprodukten E1, E2, E3. Gegeben ist der Verflechtungsgraph. a) Bedeutung der Vektorgleichung für (0, 3) Zwischenprodukte angeben. b) Matrix B aus drei Optionen auswählen und begründen. c) Begründen im Sachzusammenhang, dass der…

Aufgabengruppe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Untersuchung der Bestandsveränderung von Apfelbäumen (Jungbäume J, mäßigtragend M, guttragend G) mittels Übergangsgraph und Matrix. Erläuterung der Übergangsquoten 0,1 und 0,9 im Sachzusammenhang sowie Bestimmung der Parameter r, s und des stationären Bestands k für den Fixvektor (k, 300, 180)^T.

Aufgabengruppe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Zeigen Sie, dass das Quadrat einer spaltenstochastischen Matrix M = ((a, b), (c, d)) ebenfalls eine spaltenstochastische Matrix ist.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2020

Untersuchung der Entwicklung einer Bienenvölkerpopulation anhand einer Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms, Interpretation der Matrixeinträge, Rückrechnung zur Ermittlung des Jahres des ersten Befalls (c) und Berechnung der ergänzten Bienenvölker in 2005 und 2006 (d).

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2020

Modellierung des Kundenwechselverhaltens zwischen drei Fastfood-Restaurants mittels Übergangsgraphen, stochastischen Matrizen, inversen Matrizen und Fixvektoren.

Aufgabengruppe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Vögel brüten in Gebieten A und B mit gegebenem Übergangsdiagramm. a) Übergangsgleichung mit Matrix aufstellen und Variablen erklären. b) Prozentualen Anteil der Vögel in A nach zwei Jahren berechnen, wenn im Startjahr alle in A brüten.

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Gegeben ist die Übergangsmatrix M einer Käferpopulation mit den Stadien Eier, Larven und Käfer. a) Bestimmen Sie die Matrix M². b) Interpretieren Sie die gegebene Matrix M³ im Sachzusammenhang und beschreiben Sie in Abhängigkeit von a die langfristige Entwicklung der Population.

Aufgabe 1 - Matrizen und Übergangsprozesse · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2019

Modellierung einer Insektenpopulation (Ei, Larve, ausgewachsenes Insekt) mittels Übergangsmatrix A. Teilaufgaben a (Übergangsdiagramm vervollständigen), b (Werte/Kreuze im Diagramm ergänzen für Woche 2 und 5), c (Prüfung auf exponentielles Wachstum beschreiben), g (Untersuchung der Beschränktheit nach erstem…

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2019

Modellierung und Analyse der Bootsvermietung an den Stationen N, S und W mittels Übergangsmatrix und Übergangsgraph.

Aufgabengruppe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Untersuchung der langfristigen Entwicklung eines Übergangsprozesses zweier Zustände A und B anhand eines Übergangsgraphen sowie Bestimmung des kleinsten Zeitpunkts n, für den der Anteil in Zustand A auf weniger als 10 % abfällt.

Aufgabengruppe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2019

a) Zeigen Sie, dass die Matrix (3/5, -4/5; 4/5, 3/5) orthogonal ist. b) Untersuchen Sie, ob die Matrix (0,1;1,0)^101 orthogonal ist.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2019

Untersuchung der Populationsentwicklung zweier Insektenarten anhand von Übergangsmatrizen, Übergangsgraph, Grenzmatrix, Vektorwinkeln und stationären Zuständen.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2019

Untersuchung der Populationsentwicklung eines Marienkäfers anhand einer Übergangsmatrix: Erstellung eines Übergangsdiagramms, Herleitung von Gleichungen eines stationären Zustands, rechnerischer Nachweis der Nichtexistenz einer stationären Population mit mindestens einem Käfer, Berechnung der Populationsstärke am…

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2019

Populationsmodell mit Matrix N in Abhängigkeit vom Parameter t: a) Begründen des Definitionsbereichs t ∈ [1/4; 1/3]; b) Bestimmen von t für eine gegebene Anzahl von Eiern am Folgetag; c) Mögliche Anzahlen ausgewachsener Käfer am folgenden Morgen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Gegeben ist die Matrix A = ((7, 4), (2, 0)). a) Bestimmen Sie a, b, c, d von B so, dass A · B = I gilt. b) Für Matrix C kann C · A, nicht aber A · C gebildet werden. Beschreiben Sie alle möglichen Formen von C.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Betrachtet wird ein Populationsmodell von Jungtieren, heranwachsenden und erwachsenen Tieren mit Übergangsmatrix P. a) Bestimme, wieviel Prozent der Jungtiere das erste Lebensjahr nicht überleben. b) Berechne P² und beschreibe die Bedeutung von P² · v_n im Sachzusammenhang. c) Interpretiere P³ = E_3 im…

Aufgabengruppe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Für Matrizen A und B gilt A^2 + 2·A·B + B^2 = ((1, 3+3b), (0, b^2)). Bestimme den Wert von b, für den (A+B)^2 = A^2 + 2·A·B + B^2 gilt. Für 2x2-Matrizen C und D gilt C·D = -D·C. Stelle (C+D)^2 als Summe dar und vereinfache so weit wie möglich.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2018

Untersuchung von Kundenwechseln zwischen Baumärkten mithilfe von Übergangsprozessen, Matrizen und Gleichungssystemen.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Übergangsprozess mit zwei Zuständen A und B: Übergangsdiagramm zeichnen, Monotonieverhalten der Komponenten begründen und stationäre Zustandsverteilung (Fixvektor) angeben.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

Gegeben ist ein Übergangsgraph zwischen zwei Zuständen A und B. Es soll die zweistufige Übergangsmatrix M² berechnet werden (Teil a) und beschrieben werden, wie aus dem Verteilungsvektor v_{n+2} der Vektor v_n bestimmt werden kann (Teil b).

Aufgabengruppe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2018

In einem 2D-Koordinatensystem bildet eine 2x2-Matrix M den Punkt P(a|b) auf P'(a'|b') ab. a) Bestimmen Sie für M = ((-1,0),(0,1)) die Koordinaten von P' und begründen Sie, dass dies eine Spiegelung an der y-Achse darstellt (2 BE). b) P wird an der x-Achse zu P* gespiegelt. Bestimmen Sie M so, dass P* der Mittelpunkt…

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2018

Untersuchung von Kundenwechselprozessen zwischen drei Baumärkten anhand von Übergangsgraphen, Übergangsmatrizen, inversen Matrizen, Grenzverteilung/Fixvektoren und Parameterabhängigkeiten.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2018

Modellierung der Entwicklung von Taufliegenpopulationen mit mehrstufigen Übergangsmatrizen, zyklischen Entnahmen und Eigenwert-ähnlichem Wachstum.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2018

Modellierung der Populationsentwicklung von Indischem Springkraut mithilfe von zweistufigen Übergangsmatrizen: a) Parameter f1 und f2 von Matrix F bestimmen, b) Populationen für zwei aufeinanderfolgende Frühjahre berechnen, c) Konstanz der Pflanzenanzahl untersuchen, d) Anteil der zu entfernenden Pflanzen für…

Aufgabe 1 · GK · Teil A · Lineare Algebra 2017

Untersuchung der Definiertheit der Terme A + B und A · B für Matrizen A (3x2) und B (2x2) mit Begründung sowie Bestimmung der Einträge a, b, c, d einer Matrix C mit B · C = E.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2017

Untersuchung der Bestandsentwicklung einer Wolfspopulation mithilfe von Übergangsmatrizen und Übergangsdiagrammen (Aufgaben a bis g).

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2017

Gegeben ist die Matrix N und Vektoren u. a) Zeigen Sie, dass es keinen Vektor u ≠ 0 gibt, für den N · u = 0 gilt. b) Für einen Vektor u gilt |u|² = 1800. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung N · u = u.

Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra 2017

Analyse eines Übergangsprozesses von 50 Ratten zwischen vier Räumen: Aufstellen der Übergangsmatrix anhand eines Übergangsdiagramms und Bestimmung sowie Begründung des passenden zeitlichen Entwicklungsdiagramms für Raum 1.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2017

Populationsdynamik eines Wolfsrudels mit Übergangsmatrizen und Übergangsdiagrammen modellieren. Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten, Bestandszahlen, Wachstumsfaktoren und Beurteilung des Modells.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2017

Untersuchung algebraischer Eigenschaften einer 3x3-Matrix N mit Fixvektor u ≠ 0: Bestimmung des Wertes a für (N · N⁻¹) · u = a · u und (N + N⁻¹) · u = a · u, sowie rechnerischer Nachweis von u₂ = u₃ für eine gegebene Matrix N.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 4 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Gegeben sind die Übergangsmatrix A und der Zustandsvektor v_0. Berechnen Sie v_2 und untersuchen Sie, ob es einen Fixvektor w = (x, 1, z)^T gibt.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Zweistufiger Produktionsprozess: Rohstoffe R1, R2 zu Zwischenprodukten Z1, Z2 zu Endprodukten E1, E2. In Teilaufgabe a) ist der Bedarf an R1 für 50 ME von Z1 sowie 100 ME von E1 zu ermitteln. In Teilaufgabe b) werden die neuen Rohstoffbedarfe an R1 pro ME von Z1 und Z2 anhand eines Gleichungssystems bestimmt.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Aufgabe 1: Übergangsdiagramm für drei Größenklassen K, M, G erstellen und ohne Matrizen den Anteil der Tannen aus K berechnen, die nach zwei Wachstumsperioden in G sind.

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Untersuchung von Bestandsänderungen und Bestandsvektoren einer zweiten Waldfläche mithilfe einer Übergangsmatrix: Vergleich des Wachstumsverhaltens, Prognose und Rückrechnung von Beständen, Nachweis der Bestandsabnahme um 5 % und Bestimmung der Anzahl neu anzupflanzender Tannen nach dem Fällen.

Aufgabe 1 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Ein Industriebetrieb fertigt nach einem Verflechtungsgraphen aus Ausgangsprodukten A_1, A_2, A_3 Zwischenprodukte Z_1, Z_2, Z_3 und Endprodukte E_1, E_2. Es sollen die Verflechtungsmatrizen AZ und ZE aufgestellt, der Materialbedarf für 500 E_1 und 400 E_2 berechnet, die Gesamtkosten für ein E_1 ermittelt, die maximal…

Aufgabe 2 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Geänderte Produktionsbedingungen mit Verflechtungsmatrix AE = ((2, a), (7, 3), (3, 4)). a) Bedeutung der ersten Spalte sowie der zweiten Zeile im Sachzusammenhang beschreiben. b) Untersuchen, ob es für den Parameter a einen Wert gibt, für den ein Lagerbestand von 750 A_1, 3400 A_2 und 2000 A_3 vollständig aufgebraucht…

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra

a) Zeigen Sie, dass B die zu A inverse Matrix ist. b) Bestimmen Sie den Parameter a bei gegebenen Matrix-Vektor-Produkten.

Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Zweistufiger Produktionsprozess (Rohstoffe -> Zwischenprodukte -> Endprodukte). a) Berechnen, wie viele ME von R3 für je eine ME von E1, E2 und E3 benötigt werden. b) Bei 54 ME von R3 und der Bedingung, dass Z2 um 50 % mehr als Z1 produziert wird, die Anzahlen von Z1 und Z2 berechnen.

Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Gegeben ist ein Übergangsgraph mit drei Menügruppen (N, F, V). Gesucht sind: a) Fehlende Einträge der Übergangsmatrix M, b) Der Eintrag a_22 der Matrix M^2, c) Die Bedeutung der zweiten Zeile von M^2 im Sachzusammenhang.

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Übergangsdiagramm zur Matrix R zeichnen und den Matrixeintrag 0,65 im Sachkontext deuten.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Populationszusammensetzung für die Jahre 6 bis 9 berechnen, prozentuale Zunahme ermitteln und langfristiges Wachstum modellieren.

Aufgabe 3 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Matrixmultiplikation bei veränderten Überlebensraten durchführen und den Term R · M · v_9 im Sachkontext interpretieren.

Aufgabe 4 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Aufgabe 4: Gegeben ist die Übergangsmatrix H für eine Hormonbehandlung. In 4a soll gezeigt werden, dass der Vektor u_1 = (250, 200, 650)^T stationär ist (H * u_1 = u_1). In 4b wird der Vektor w_0 = r * u_1 + s * u_2 betrachtet mit u_2 = (0, 0, 100)^T und H * u_2 = 0,8 * u_2. Es soll w_1 gezeigt werden sowie der…

Aufgabe 1 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Stellen Sie die durch die Matrix R beschriebene Entwicklung in einem Übergangsdiagramm dar und geben Sie die Bedeutung des Werts 0,65 im Sachzusammenhang an.

Aufgabe 2 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Aufgabe 2: a) Berechnung des Zustandsvektors v_9 (Kitze, Jungtiere, erwachsene Tiere). b) Rechnerische Bestätigung der Zunahme im 8. Jahr (17 %) und Aufstellen einer Vermutung zum Wachstumsverlauf. c) Berechnung der Populationsgröße nach weiteren 15 Jahren und Nennung eines Grundes für reale Abweichungen.

Aufgabe 3 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Aufgabe 3: a) Berechnung des Matrixelements a im Produkt R · M. b) Interpretation des Terms R · M · v_9 im Sachzusammenhang der Populationsentwicklung.

Aufgabe 4 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Untersuchung der Matrix H bezüglich eines stationären Zustands u_1 und des langfristigen Grenzverhaltens der Linearkombination w_n = H^n * w_0.

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Analysis

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Stochastik